а) Решите уравнение 4sin x cos²x - 1 = cos x(4sin x - 1).

Решение:

Для решения уравнения \( 4\sin x \cos^2 x - 1 = \cos x(4\sin x - 1) \) выполним следующие шаги:

1. Перепишем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \):
   \( 4\sin x (1 - \sin^2 x) - 1 = 4\sin x \cos x - \cos x \)
2. Раскроем скобки и перенесём все члены в одну сторону:
   \( 4\sin x - 4\sin^3 x - 1 = 4\sin x \cos x - \cos x \)
3. Сгруппируем члены: \( (4\sin x - 4\sin^3 x) - 1 - (4\sin x \cos x - \cos x) = 0 \)
4. Вынесем общий множитель:
   \( 4\sin x (1 - \sin^2 x) - 1 - \cos x (4\sin x - 1) = 0 \)
   \( 4\sin x \cos^2 x - 1 - \cos x (4\sin x - 1) = 0 \)
5. Заметим, что \( 4\sin x \cos^2 x - 1 = 4\sin x (1 - \sin^2 x) - 1 = 4\sin x - 4\sin^3 x - 1 \)
6. Вернёмся к исходному уравнению и раскроем скобки:
   \( 4\sin x \cos^2 x - 1 = 4\sin x \cos x - \cos x \)
7. Заменим \( \cos^2 x \) на \( 1 - \sin^2 x \):
   \( 4\sin x (1 - \sin^2 x) - 1 = 4\sin x \cos x - \cos x \)
   \( 4\sin x - 4\sin^3 x - 1 = 4\sin x \cos x - \cos x \)
8. Перенесём все члены в левую часть:
   \( 4\sin x - 4\sin^3 x - 4\sin x \cos x + \cos x - 1 = 0 \)
9. Это уравнение сложно решить напрямую. Попробуем другой подход, раскрыв скобки в исходном уравнении:
   \( 4\sin x \cos^2 x - 1 = 4\sin x \cos x - \cos x \)
10. Перенесём всё в одну сторону:
    \( 4\sin x \cos^2 x - 4\sin x \cos x + \cos x - 1 = 0 \)
11. Сгруппируем:
    \( 4\sin x \cos x (\cos x - 1) + (\cos x - 1) = 0 \)
12. Вынесем общий множитель \( (\cos x - 1) \):
    \( (\cos x - 1)(4\sin x \cos x + 1) = 0 \)
13. Приравняем каждый множитель к нулю:
    Случай 1: \( \cos x - 1 = 0 \)
    \( \cos x = 1 \)
    \( x = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
14. Случай 2: \( 4\sin x \cos x + 1 = 0 \)
    Используем формулу синуса двойного угла \( \sin(2x) = 2\sin x \cos x \):
    \( 2(2\sin x \cos x) + 1 = 0 \)
    \( 2\sin(2x) + 1 = 0 \)
    \( \sin(2x) = -\frac{1}{2} \)
    Для \( \sin \alpha = -\frac{1}{2} \) имеем \( \alpha = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( \alpha = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
15. Подставим \( \alpha = 2x \):
    а) \( 2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \) \( \Rightarrow \) \( x = -\frac{\pi}{12} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
16. б) \( 2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{7\pi}{12} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = 2\pi k \); \( x = -\frac{\pi}{12} + \pi n \); \( x = \frac{7\pi}{12} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).