а) Решите уравнение √4 cos²x+9 cosx+6 = √cosx+11

Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z

Разбираемся:

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение: \[\sqrt{4 \cos^2 x + 9 \cos x + 6} = \sqrt{\cos x + 11}\]

Возводим обе части в квадрат:

\[4 \cos^2 x + 9 \cos x + 6 = \cos x + 11\]

Шаг 2: Упрощаем уравнение

Переносим все члены в левую часть:

\[4 \cos^2 x + 8 \cos x - 5 = 0\]

Шаг 3: Делаем замену переменной

Пусть \[t = \cos x\]

Тогда уравнение принимает вид:

\[4t^2 + 8t - 5 = 0\]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Решаем квадратное уравнение относительно t:

\[4t^2 + 8t - 5 = 0\]

Находим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144\]

Находим корни:

\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]

\[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}\]

Шаг 5: Возвращаемся к исходной переменной

Так как \[t = \cos x\], получаем:

\[\cos x = \frac{1}{2}\]

или

\[\cos x = -\frac{5}{2}\]

Второй случай не имеет решений, так как \[-1 \le \cos x \le 1\]

Шаг 6: Находим решения для cos x = 1/2

\[\cos x = \frac{1}{2}\]

\[x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

\[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z

Ты получил статус «Цифровой атлет»!

Achievement unlocked: Домашка закрыта. Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке. Карма +100 обеспечена