19.55 а) Используя графики функций у = \frac{1}{3}x^2 и y = x, решите неравен- ство \frac{1}{3}x^2 < x.

Для решения неравенства \(\frac{1}{3}x^2 < x\) с использованием графиков функций \(y = \frac{1}{3}x^2\) и \(y = x\) нужно найти значения \(x\), при которых график параболы лежит ниже графика прямой.

Преобразуем неравенство: \(\frac{1}{3}x^2 - x < 0\)

Умножим обе части неравенства на 3: \(x^2 - 3x < 0\)

Вынесем x за скобки: \(x(x - 3) < 0\)

Найдем корни уравнения \(x(x - 3) = 0\):

\(x = 0\) или \(x - 3 = 0\) \(\Rightarrow\) \(x = 3\)

Теперь определим знаки выражения \(x(x - 3)\) на интервалах, образованных корнями \(x = 0\) и \(x = 3\).

• Если \(x < 0\), то \(x < 0\) и \(x - 3 < 0\), следовательно, \(x(x - 3) > 0\).
• Если \(0 < x < 3\), то \(x > 0\) и \(x - 3 < 0\), следовательно, \(x(x - 3) < 0\).
• Если \(x > 3\), то \(x > 0\) и \(x - 3 > 0\), следовательно, \(x(x - 3) > 0\).

Таким образом, неравенство \(x(x - 3) < 0\) выполняется при \(0 < x < 3\).

Ответ: \(0 < x < 3\)