А и С₂ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. 1 D C 2 A D B C A 2 B 3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро параллелепипеда. 4. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, равное 12 см, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Решение

Пусть a = 3 см, b = 5 см - стороны основания параллелепипеда, d = 10 см - большая диагональ, а x - боковое ребро.

Квадрат диагонали основания:

\[d_{осн}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(180 - 60) = a^2 + b^2 + 2ab \cdot cos(60)\]

Подставляем значения:

\[d_{осн}^2 = 3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 9 + 25 + 15 = 49\] \[d_{осн} = \sqrt{49} = 7\]

Теперь, зная диагональ основания и большую диагональ параллелепипеда, можем найти боковое ребро x по теореме Пифагора:

\[x^2 = d^2 - d_{осн}^2 = 10^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51\] \[x = \sqrt{51}\]

Ответ: \(\sqrt{51}\) см

4. Решение

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, равное 12 см, образует с плоскостью основания угол 60°. Нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Обозначим сторону основания пирамиды как a, а боковое ребро как b = 12 см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60°.

Найдем половину диагонали основания (проекцию бокового ребра на основание):

\[\frac{d}{2} = b \cdot cos(60°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\]

Тогда диагональ основания d = 2 ⋅ 6 = 12 см.

Так как основание - квадрат, то сторона основания равна:

\[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}\]

Апофема (высота боковой грани) может быть найдена как:

\[h = b \cdot sin(60°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\]

Площадь одной боковой грани:

\[S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{6}\]

Площадь боковой поверхности пирамиды:

\[S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 18\sqrt{6} = 72\sqrt{6}\]

Ответ: \(72\sqrt{6}\) см²