a) $$\frac{9-x^2}{x+2} \leq 0$$; б) $$\frac{x+4}{3x^2-x-2} < 0$$

Решение:

1. Задание а)

   Нужно решить неравенство $$\frac{9-x^2}{x+2} \leq 0$$.

   1. Найдем корни числителя:

      $$9 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$.

   2. Найдем корень знаменателя:

      $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$.

   3. Метод интервалов:

      Расставим корни на числовой прямой: -3, -2, 3.

      Проверим знаки на интервалах:

      • $$(-\infty, -3]$$: Возьмем $$x=-4$$. $$\frac{9-(-4)^2}{-4+2} = \frac{9-16}{-2} = \frac{-7}{-2} = 3.5 > 0$$.
      • $$[-3, -2)$$: Возьмем $$x=-2.5$$. $$\frac{9-(-2.5)^2}{-2.5+2} = \frac{9-6.25}{-0.5} = \frac{2.75}{-0.5} = -5.5 < 0$$.
      • $$(-2, 3]$$: Возьмем $$x=0$$. $$\frac{9-0^2}{0+2} = \frac{9}{2} = 4.5 > 0$$.
      • $$[3, \infty)$$: Возьмем $$x=4$$. $$\frac{9-4^2}{4+2} = \frac{9-16}{6} = \frac{-7}{6} < 0$$.

      Важно: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $$x
      eq -2$$. Числитель может быть равен нулю, поэтому $$x=-3$$ и $$x=3$$ входят в решение.

   Ответ а): $$x \in [-3; -2) \cup [3; \infty)$$.

2. Задание б)

   Нужно решить неравенство $$\frac{x+4}{3x^2-x-2} < 0$$.

   1. Найдем корни числителя:

      $$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$$.

   2. Найдем корни знаменателя:

      $$3x^2 - x - 2 = 0$$.

      Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$$.

      $$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$$.

      $$x_1 = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1$$.

      $$x_2 = \frac{1-5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$.

   3. Метод интервалов:

      Расставим корни на числовой прямой: -4, -2/3, 1.

      Проверим знаки на интервалах:

      • $$(-\infty, -4)$$: Возьмем $$x=-5$$. $$\frac{-5+4}{3(-5)^2-(-5)-2} = \frac{-1}{3(25)+5-2} = \frac{-1}{75+3} = \frac{-1}{78} < 0$$.
      • $$(-4, -2/3)$$: Возьмем $$x=-1$$. $$\frac{-1+4}{3(-1)^2-(-1)-2} = \frac{3}{3(1)+1-2} = \frac{3}{3+1-2} = \frac{3}{2} > 0$$.
      • $$(-2/3, 1)$$: Возьмем $$x=0$$. $$\frac{0+4}{3(0)^2-0-2} = \frac{4}{-2} = -2 < 0$$.
      • $$(1, \infty)$$: Возьмем $$x=2$$. $$\frac{2+4}{3(2)^2-2-2} = \frac{6}{3(4)-2-2} = \frac{6}{12-4} = \frac{6}{8} > 0$$.

      Важно: Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $$x
      eq -2/3$$ и $$x
      eq 1$$. Числитель не может быть равен нулю, так как неравенство строгое ($$< 0$$), поэтому $$x
      eq -4$$. Все точки выколоты.

   Ответ б): $$x \in (-\infty; -4) \cup (-2/3; 1)$$.