a) 7a³b ⋅ a²b⁶; б) (-3a⁸b)⁴; в) (-2ab⁴)² ⋅ abc; г) (-10a⁶b⁴)³ : (5a¹⁷b).

Задание: Выполните действия и запишите полученный результат в виде одночлена стандартного вида.

1. а) 7a³b ⋅ a²b⁶

   Чтобы упростить выражение, перемножим коэффициенты и сложим степени одинаковых переменных:

   \[ 7a^3b \cdot a^2b^6 = 7 \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b^1 \cdot b^6) \]

   При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

   \[ 7 \cdot a^{3+2} \cdot b^{1+6} = 7a^5b^7 \]

   Результат: \(7a^5b^7\)

2. б) (-3a⁸b)⁴

   При возведении степени в степень показатели перемножаются, а коэффициент возводится в эту степень:

   \[ (-3a^8b)^4 = (-3)^4 \cdot (a^8)^4 \cdot b^4 \]

   \[ (-3)^4 = 81 \]

   \[ (a^8)^4 = a^{8 \cdot 4} = a^{32} \]

   \[ b^4 \]

   Собираем всё вместе:

   \[ 81a^{32}b^4 \]

   Результат: \(81a^{32}b^4\)

3. в) (-2ab⁴)² ⋅ abc

   Сначала возведем в квадрат первое выражение:

   \[ (-2ab^4)^2 = (-2)^2 \cdot a^2 \cdot (b^4)^2 = 4a^2b^8 \]

   Теперь умножим полученный результат на 'abc':

   \[ 4a^2b^8 \cdot abc = 4 \cdot (a^2 \cdot a^1) \cdot (b^8 \cdot b^1) \cdot c^1 \]

   \[ 4a^{2+1}b^{8+1}c^1 = 4a^3b^9c \]

   Результат: \(4a^3b^9c\)

4. г) (-10a⁶b⁴)³ : (5a¹⁷b)

   Сначала возведем первое выражение в куб:

   \[ (-10a^6b^4)^3 = (-10)^3 \cdot (a^6)^3 \cdot (b^4)^3 = -1000a^{18}b^{12} \]

   Теперь разделим полученный результат на \(5a^{17}b\):

   \[ \frac{-1000a^{18}b^{12}}{5a^{17}b^1} = \frac{-1000}{5} \cdot \frac{a^{18}}{a^{17}} \cdot \frac{b^{12}}{b^1} \]

   При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

   \[ -200 \cdot a^{18-17} \cdot b^{12-1} = -200a^1b^{11} = -200ab^{11} \]

   Результат: \(-200ab^{11}\)

Найдите коэффициент и степень полученного результата.

Для одночлена (результата):

• а) 7a⁵b⁷: Коэффициент = 7, степень = 5 + 7 = 12.
• б) 81a³²b⁴: Коэффициент = 81, степень = 32 + 4 = 36.
• в) 4a³b⁹c: Коэффициент = 4, степень = 3 + 9 + 1 = 13.
• г) -200ab¹¹: Коэффициент = -200, степень = 1 + 11 = 12.