Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \), нам дано, что \( AC = 15 \text{ см} \) и \( \cos A = \frac{1}{3} \).
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
\( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)
В нашем случае, прилежащий катет к углу A — это AC, а гипотенуза — AB.
\( \cos A = \frac{AC}{AB} \)
Подставим известные значения:
\( \frac{1}{3} = \frac{15 \text{ см}}{AB} \)
Чтобы найти AB, перемножим крест-накрест:
\( AB \cdot 1 = 15 \text{ см} \cdot 3 \)
\( AB = 45 \text{ см} \)
Теперь, когда мы знаем AC и AB, мы можем найти BC, используя теорему Пифагора \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза. В нашем случае \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
\( (15 \text{ см})^2 + BC^2 = (45 \text{ см})^2 \)
\( 225 \text{ см}^2 + BC^2 = 2025 \text{ см}^2 \)
\( BC^2 = 2025 \text{ см}^2 - 225 \text{ см}^2 \)
\( BC^2 = 1800 \text{ см}^2 \)
\( BC = \sqrt{1800} \text{ см} \)
Упростим корень:
\( BC = \sqrt{900 \cdot 2} \text{ см} = \sqrt{900} \cdot \sqrt{2} \text{ см} = 30 \sqrt{2} \text{ см} \)
Альтернативный метод:
Мы можем использовать синус угла A:
\( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \)
Сначала найдем \( \sin A \) из \( \cos A \) по формуле \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \):
\( \sin^2 A + (\frac{1}{3})^2 = 1 \)
\( \sin^2 A + \frac{1}{9} = 1 \)
\( \sin^2 A = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
\( \sin A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) (так как угол A острый, синус положителен).
Теперь подставим в формулу для синуса:
\( \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{BC}{45 \text{ см}} \)
\( BC = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 45 \text{ см} \)
\( BC = 2\sqrt{2} \cdot 15 \text{ см} \)
\( BC = 30\sqrt{2} \text{ см} \)
Второй альтернативный метод, используя тангенс:
\( \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} \)
Сначала найдем \( \tan A \) из \( \cos A \). Если \( \cos A = \frac{1}{3} \), то прилежащий катет равен 1, а гипотенуза равна 3. Противолежащий катет \( b = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
\( \tan A = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2} \).
Теперь подставим в формулу для тангенса:
\( 2\sqrt{2} = \frac{BC}{15 \text{ см}} \)
\( BC = 2\sqrt{2} \cdot 15 \text{ см} \)
\( BC = 30\sqrt{2} \text{ см} \)
Ответ: BC = 30\(\sqrt{2}\) см.
