Контрольные задания > 6. а) (2 балла) Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямая, проходяща окружности в точках М и N, а прямая, проходящая через точку В в точках К и Р (см. рисунок). Найдите угол АВР, если ZKMN = 82° б) (2 балла) Докажите, что прямые NP и МК параллельны. 7. а) (2 балла) Докажите, что выражение а(а + 2)-(b + 1)(1-b) + 4 положительно при любых значениях а и b. б) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a+2)(b + 2)(2-b)?
Вопрос:

6. а) (2 балла) Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямая, проходяща окружности в точках М и N, а прямая, проходящая через точку В в точках К и Р (см. рисунок). Найдите угол АВР, если ZKMN = 82° б) (2 балла) Докажите, что прямые NP и МК параллельны. 7. а) (2 балла) Докажите, что выражение а(а + 2)-(b + 1)(1-b) + 4 положительно при любых значениях а и b. б) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a+2)(b + 2)(2-b)?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: Решение заданий представлено ниже.

Краткое пояснение: Решаем задачи по геометрии и алгебре, применяя известные теоремы и преобразования выражений.

6. a)

Дано: Две окружности пересекаются в точках A и B; прямая пересекает окружности в точках M и N; прямая, проходящая через B, пересекает окружности в точках K и P; ∠KMN = 82°.

Найти: ∠ABP.

Решение:

  • ∠KMN и ∠KBN опираются на одну и ту же дугу KN, следовательно, ∠KBN = ∠KMN = 82°.
  • ∠ABP является смежным с ∠KBN, поэтому ∠ABP = 180° - ∠KBN = 180° - 82° = 98°.

Ответ: ∠ABP = 98°

6. б)

Доказать: Прямые NP и MK параллельны.

Доказательство:

  • ∠KBN = 82° (как угол, опирающийся на дугу KN).
  • ∠NBP = 180° - ∠KBN = 98° (так как они смежные).
  • ∠MNP = 180° - ∠MKN = 180° - 82° = 98° (как внутренние углы вписанного четырехугольника).
  • ∠NBP = ∠MNP = 98°, следовательно, прямые NP и MK параллельны (так как соответственные углы равны).

Доказано, что NP || MK.

7. а)

Доказать: Выражение a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) + 4 положительно при любых значениях a и b.

Доказательство:

  • Преобразуем выражение: a(a + 2) - (b + 1)(1 - b) + 4 = a² + 2a - (1 - b²)+ 4 = a² + 2a - 1 + b² + 4 = a² + 2a + b² + 3.
  • Выделим полный квадрат: a² + 2a + b² + 3 = (a² + 2a + 1) + b² + 2 = (a + 1)² + b² + 2.
  • Так как (a + 1)² ≥ 0 и b² ≥ 0, то (a + 1)² + b² + 2 > 0 при любых значениях a и b.

Доказано, что выражение положительно при любых a и b.

7. б)

Найти: Какое наименьшее значение может принимать выражение a(a + 2) - (b + 2)(2 - b)?

Решение:

  • Преобразуем выражение: a(a + 2) - (b + 2)(2 - b) = a² + 2a - (4 - b²) = a² + 2a - 4 + b².
  • Выделим полный квадрат: a² + 2a - 4 + b² = (a² + 2a + 1) + b² - 5 = (a + 1)² + b² - 5.
  • Наименьшее значение (a + 1)² = 0 при a = -1.
  • Наименьшее значение b² = 0 при b = 0.
  • Следовательно, наименьшее значение выражения: 0 + 0 - 5 = -5.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно -5.

Ответ: Решение заданий представлено выше.

Result Card: Цифровой атлет достиг нового уровня!

  • Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.
  • Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.
ГДЗ по фото 📸