a) $$\frac{9m}{25n^2}$$ и $$\frac{4}{15mn}$$; б) $$\frac{5m}{n}$$ и $$\frac{n}{m-n}$$; $$\frac{x-3}{x^2-xy}$$ и $$\frac{y-3}{xy-y^2}$$; в) $$\frac{a}{a-5}$$ и $$\frac{3a}{a+4}$$; г) $$\frac{4y}{4-y^2}$$ и $$\frac{1}{8+4y}$$.

a) $$\frac{9m}{25n^2}$$ и $$\frac{4}{15mn}$$

• Разложим знаменатели на простые множители:
• 25n² = 5² ⋅ n²
• 15mn = 3 ⋅ 5 ⋅ m ⋅ n
• Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ):
• НОЗ(25n², 15mn) = 3 ⋅ 5² ⋅ m ⋅ n² = 75mn²
• Определим дополнительные множители для каждой дроби:
• Для первой дроби: 75mn² / 25n² = 3m
• Для второй дроби: 75mn² / 15mn = 5n
• Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель:
• Первая дробь: $$\frac{9m}{25n^2} = \frac{9m \cdot 3m}{25n^2 \cdot 3m} = \frac{27m^2}{75mn^2}$$
• Вторая дробь: $$\frac{4}{15mn} = \frac{4 \cdot 5n}{15mn \cdot 5n} = \frac{20n}{75mn^2}$$

Ответ: $$\frac{27m^2}{75mn^2}$$ и $$\frac{20n}{75mn^2}$$

б) $$\frac{5m}{n}$$ и $$\frac{n}{m-n}$$;

• Общий знаменатель здесь очевиден: n(m-n)
• Дополнительные множители:
• Для первой дроби: (m-n)
• Для второй дроби: n
• Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель:
• Первая дробь: $$\frac{5m}{n} = \frac{5m \cdot (m-n)}{n \cdot (m-n)} = \frac{5m^2-5mn}{n(m-n)}$$
• Вторая дробь: $$\frac{n}{m-n} = \frac{n \cdot n}{(m-n) \cdot n} = \frac{n^2}{n(m-n)}$$

Ответ: $$\frac{5m^2-5mn}{n(m-n)}$$ и $$\frac{n^2}{n(m-n)}$$

$$\frac{x-3}{x^2-xy}$$ и $$\frac{y-3}{xy-y^2}$$

• Разложим знаменатели на множители:
• $$x^2 - xy = x(x-y)$$
• $$xy - y^2 = y(x-y)$$
• НОЗ: $$xy(x-y)$$
• Дополнительные множители:
• Для первой дроби: y
• Для второй дроби: x
• Приведем дроби к общему знаменателю:
• $$\frac{x-3}{x^2-xy} = \frac{(x-3) \cdot y}{x(x-y) \cdot y} = \frac{xy-3y}{xy(x-y)}$$
• $$\frac{y-3}{xy-y^2} = \frac{(y-3) \cdot x}{y(x-y) \cdot x} = \frac{xy-3x}{xy(x-y)}$$

Ответ: $$\frac{xy-3y}{xy(x-y)}$$ и $$\frac{xy-3x}{xy(x-y)}$$

в) $$\frac{a}{a-5}$$ и $$\frac{3a}{a+4}$$

• Общий знаменатель: (a-5)(a+4)
• Дополнительные множители:
• Для первой дроби: (a+4)
• Для второй дроби: (a-5)
• Приведем дроби к общему знаменателю:
• $$\frac{a}{a-5} = \frac{a \cdot (a+4)}{(a-5) \cdot (a+4)} = \frac{a^2+4a}{(a-5)(a+4)}$$
• $$\frac{3a}{a+4} = \frac{3a \cdot (a-5)}{(a+4) \cdot (a-5)} = \frac{3a^2-15a}{(a-5)(a+4)}$$

Ответ: $$\frac{a^2+4a}{(a-5)(a+4)}$$ и $$\frac{3a^2-15a}{(a-5)(a+4)}$$

г) $$\frac{4y}{4-y^2}$$ и $$\frac{1}{8+4y}$$

• Разложим знаменатели на множители:
• 4 - y² = (2 - y)(2 + y)
• 8 + 4y = 4(2 + y)
• НОЗ: 4(2 - y)(2 + y)
• Дополнительные множители:
• Для первой дроби: 4
• Для второй дроби: (2-y)
• Приведем дроби к общему знаменателю:
• $$\frac{4y}{4-y^2} = \frac{4y \cdot 4}{(2-y)(2+y) \cdot 4} = \frac{16y}{4(2-y)(2+y)}$$
• $$\frac{1}{8+4y} = \frac{1 \cdot (2-y)}{4(2+y) \cdot (2-y)} = \frac{2-y}{4(2-y)(2+y)}$$

Ответ: $$\frac{16y}{4(2-y)(2+y)}$$ и $$\frac{2-y}{4(2-y)(2+y)}$$