9x - 4)^2 >= (4x - 9)^2

Решение:

Возведём обе части неравенства в квадрат:

\( (9x - 4)^2 \ge (4x - 9)^2 \)

Перенесём всё в левую часть:

\( (9x - 4)^2 - (4x - 9)^2 \ge 0 \)

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):

\( ((9x - 4) - (4x - 9))((9x - 4) + (4x - 9)) \ge 0 \)

Упростим выражения в скобках:

\( (9x - 4 - 4x + 9)(9x - 4 + 4x - 9) \ge 0 \)

\( (5x + 5)(13x - 13) \ge 0 \)

Вынесем общие множители:

\( 5(x + 1) \cdot 13(x - 1) \ge 0 \)

\( 65(x + 1)(x - 1) \ge 0 \)

Разделим обе части на 65 (положительное число, знак неравенства не меняется):

\( (x + 1)(x - 1) \ge 0 \)

Найдем корни уравнения \( (x + 1)(x - 1) = 0 \). Корни: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -1] \), \( [-1, 1] \), \( [1, \infty) \). Определим знак произведения \( (x + 1)(x - 1) \) на каждом интервале:

• При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (-2 + 1)(-2 - 1) = (-1)(-3) = 3 > 0 \).
• При \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 + 1)(0 - 1) = (1)(-1) = -1 < 0 \).
• При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( (2 + 1)(2 - 1) = (3)(1) = 3 > 0 \).

Нам нужны значения, где произведение \( \ge 0 \). Это интервалы \( (-\infty, -1] \) и \( [1, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \).