9 Тип 8 № 12348 i В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, отрезок АН — высота. Угол ВСА равен 35°. Найди- те угол ВАН. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дан треугольник \( \triangle ABC \)

Из условия известно, что \( AB = BC \). Это означает, что \( \triangle ABC \) — равнобедренный треугольник.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle BAC = \angle BCA = 35^\circ \).

AH — высота, проведенная из вершины A к основанию BC (или к его продолжению). Следовательно, \( \angle AHB = 90^\circ \) (если H лежит на BC) или \( \angle AHC = 90^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle AHC \). Это прямоугольный треугольник, так как AH — высота.

Сумма углов в \( \triangle AHC \) равна \( 180^\circ \).

\( \angle HAC + \angle AHC + \angle HCA = 180^\circ \)

\( \angle HAC + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ \)

\( \angle HAC + 125^\circ = 180^\circ \)

\( \angle HAC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \)

Однако, в условии сказано, что AH — высота. На чертеже видно, что H лежит на стороне BC. Если H лежит на BC, то \( \angle AHC = 90^\circ \).

В \( \triangle ABC \), \( AB = BC \), значит \( \angle BAC = \angle BCA = 35^\circ \).

Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна \( 180^\circ \).

\( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ \)

\( \angle ABC + 35^\circ + 35^\circ = 180^\circ \)

\( \angle ABC + 70^\circ = 180^\circ \)

\( \angle ABC = 110^\circ \).

AH — высота, проведенная из вершины A к стороне BC. Значит, \( \angle AHC = 90^\circ \).

Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABH \).

\( \angle BAH + \angle ABH + \angle AHB = 180^\circ \)

\( \angle BAH + 110^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \angle BAH + 200^\circ = 180^\circ \)

\( \angle BAH = -20^\circ \). Это невозможно.

Значит, точка H лежит не на стороне BC, а на продолжении стороны BC. Либо, что более вероятно, AH — высота, проведенная к стороне BC, но \( AB \neq BC \) как я изначально предположил, а \( AB = BC \) как сказано в условии.

Вернемся к условию: \( AB = BC \) и \( \angle BCA = 35^\circ \). Из \( AB = BC \) следует, что \( \angle BAC = \angle BCA = 35^\circ \). Это противоречит тому, что AH — высота, и угол ABC будет тупым (110°).

Перечитаем условие: "В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны". Это значит, что углы при основании AC равны: \( \angle BAC = \angle BCA = 35^\circ \).

AH — высота, значит \( \angle AHC = 90^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle AHC \).

\( \angle HAC + \angle AHC + \angle HCA = 180^\circ \)

\( \angle HAC + 90^\circ + 35^\circ = 180^\circ \)

\( \angle HAC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).

Угол \( \angle BAH \) является частью угла \( \angle BAC \).

\( \angle BAC = \angle BAH + \angle HAC \)

\( 35^\circ = \angle BAH + 55^\circ \)

\( \angle BAH = 35^\circ - 55^\circ = -20^\circ \).

Снова противоречие. Это значит, что точка H лежит вне отрезка BC, и AH является высотой, проведенной к продолжению стороны BC.

Давайте предположим, что \( AC = BC \). Тогда \( \angle BAC = \angle ABC \). Если \( \angle BCA = 35^\circ \), то \( \angle BAC = \angle ABC = (180^\circ - 35^\circ) / 2 = 145^\circ / 2 = 72.5^\circ \).

AH — высота. Рассмотрим \( \triangle AHC \). \( \angle AHC = 90^\circ \).

\( \angle HAC = 180^\circ - 90^\circ - \angle HCA = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).

\( \angle BAH = \angle BAC - \angle HAC = 72.5^\circ - 55^\circ = 17.5^\circ \).

Но в условии сказано, что \( AB = BC \).

Итак, \( AB = BC \), значит \( \angle BAC = \angle BCA = 35^\circ \). Следовательно, \( \angle ABC = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \). Угол ABC тупой.

AH — высота. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из острого угла, опускается на продолжение противоположной стороны.

AH — высота из вершины A. Значит, AH перпендикулярна BC. Поскольку \( \angle ABC \) тупой, точка H будет лежать на продолжении стороны BC за вершину B.

Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABH \). \( \angle AHB = 90^\circ \).

\( \angle ABH \) — это смежный угол к \( \angle ABC \). Поэтому \( \angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \).

В \( \triangle ABH \):

\( \angle BAH + \angle ABH + \angle AHB = 180^\circ \)

\( \angle BAH + 70^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \angle BAH + 160^\circ = 180^\circ \)

\( \angle BAH = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \).

Проверим. \( \angle BAC = 35^\circ \). \( \angle HAC = \angle BAH + \angle BAC \) (если H лежит на продолжении BC за B).

Рассмотрим \( \triangle AHC \).

\( \angle ACH = \angle BCA = 35^\circ \).

\( \angle AHC = 90^\circ \).

\( \angle HAC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).

\( \angle BAC = 35^\circ \).

\( \angle HAC = \angle HAB + \angle BAC \)

\( 55^\circ = \angle BAH + 35^\circ \)

\( \angle BAH = 55^\circ - 35^\circ = 20^\circ \).

Этот результат совпадает.

Ответ: 20