97. Постройте график функции \(y=\dfrac{|x|-1}{|x|-x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) не имеет с графиком ни одной общей точки.

При \(x\ge 0\) знаменатель \(|x|-x\) равен нулю, поэтому область определения: \(x<0\). На этой области \(|x|=-x\), следовательно, \(y=\dfrac{-x-1}{-2x}=\dfrac{x+1}{2x}\).

Для пересечения с прямой \(y=kx\) необходимо \(kx=\dfrac{x+1}{2x}\), или \(k=\dfrac{x+1}{2x^2}\), где \(x<0\). Рассмотрим функцию \(g(x)=\dfrac{x+1}{2x^2}\) на этой области. Её производная \(g'(x)=-\dfrac{x+2}{2x^3}\); единственная точка минимума — \(x=-2\), где \(g(-2)=-\dfrac18\). При \(x\to 0-\) значения стремятся к \(+\infty\), а при \(x\to-\infty\) — к нулю. Значит, множество значений \(g\) равно \([-\dfrac18,+\infty)\).

Следовательно, пересечение существует при каждом \(k\ge-\dfrac18\), а при меньших значениях его нет.

Ответ: \(k<-\dfrac18\).