96. Постройте график функции \(y=\dfrac{7x+5}{7x^2+5x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим знаменатель на множители и учтём область определения:

\(7x^2+5x=x(7x+5)\), поэтому \(x\ne 0\) и \(x\ne -\dfrac57\). При этих ограничениях \(y=\dfrac1x\). График — гипербола \(y=\dfrac1x\) с выколотой точкой \(\left(-\dfrac57,-\dfrac75\right)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(\dfrac1x=kx\), то есть \(kx^2=1\), при указанных ограничениях на \(x\).

1. Если \(k<0\) или \(k=0\), действительных решений нет.
2. Если \(k>0\), уравнение имеет два корня \(x=\pm\dfrac1{\sqrt{k}}\), кроме случая, когда один из них является выколотым значением \(-\dfrac57\).
3. Отрицательный корень равен \(-\dfrac57\), когда \(\dfrac1{\sqrt{k}}=\dfrac57\), откуда \(k=\dfrac{49}{25}\). Тогда остаётся один допустимый корень \(x=\dfrac57\).

Для этого значения точка пересечения: \(\left(\dfrac57,\dfrac75\right)\).

Ответ: \(k=\dfrac{49}{25}\).