Ответ:

Восстанавливаем написание по правилам орфографии и расставляем знаки препинания.

  1. В начале пятидесятых годов в Новгороде учёные нашли берестяные грамоты, написанные без единой капли чернил.
    Запятая отделяет причастный оборот «написанные без единой капли чернил», стоящий после определяемого слова «грамоты». Орфограмма: суффикс причастия прошедшего времени -анн-.
  2. Буквы на берёсте процарапаны тщательно заострённым писалом.
    Запятая не нужна: причастный оборот «тщательно заострённым писалом» стоит перед определяемым словом «писалом» и тесно с ним связан. Орфограммы: безударная гласная в слове «берёсте» проверяется словом «береста»; приставка «за-»; суффикс страдательного причастия «-ённ-» в слове «заострённым».
  3. Новгородцы в древности буквально ногами ходили по грамотам, брошенным на землю.
    Запятая отделяет причастный оборот «брошенным на землю», который стоит после определяемого слова «грамотам». Орфограмма: суффикс страдательного причастия прошедшего времени «-енн-».
  4. От брошенного в грязь современного бумажного письма уже спустя небольшое время не останется даже следа, а процарапанное берестяное письмо в благоприятных условиях даже в грязи пролежит многие столетия.
    «Современного» — одна буква н в суффиксе прилагательного; «небольшое» пишется слитно, так как слово можно заменить синонимом «короткое»; «не останется» — частица не с глаголом пишется раздельно; «благоприятных» — одна т в корне.