9) y = \(\sqrt{x}\)(4x-4)

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \sqrt{x}(4x-4) \) воспользуемся правилом умножения и правилом дифференцирования степенной функции.

Перепишем функцию: \( y = x^{\frac{1}{2}}(4x-4) \)

Применим правило умножения: \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x^{\frac{1}{2}} \) и \( v = 4x-4 \).

1. Найдем производную \( u' \): \( u' = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
2. Найдем производную \( v' \): \( v' = \frac{d}{dx}(4x-4) = 4 \).
3. Подставим в формулу производной произведения: \( y' = (\frac{1}{2\sqrt{x}})(4x-4) + (\sqrt{x})(4) \).
4. Упростим выражение: \( y' = \frac{4x-4}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x} = \frac{2(2x-2)}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x} = \frac{2x-2}{\sqrt{x}} + 4\sqrt{x} \).
5. Приведем к общему знаменателю: \( y' = \frac{2x-2}{\sqrt{x}} + \frac{4\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{2x-2 + 4x}{\sqrt{x}} = \frac{6x-2}{\sqrt{x}} \).

Можно также вынести общий множитель \( 2 \) из числителя: \( y' = \frac{2(3x-1)}{\sqrt{x}} \).

Ответ: \( y' = \frac{6x-2}{\sqrt{x}} \) или \( y' = \frac{2(3x-1)}{\sqrt{x}} \).