9. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, площади которых равны 6 см² и 54 см². Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Высота CD проведена к гипотенузе AB. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADC и BDC.

\( S_{ABC} = S_{ADC} + S_{BDC} \)

\( S_{ABC} = 6 \text{ см}^2 + 54 \text{ см}^2 = 60 \text{ см}^2 \)

Из подобия прямоугольных треугольников, на которые делит высота гипотенузу, следует, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответственных сторон (в данном случае — высот, проведённых из вершины прямого угла в каждом из малых треугольников, или отрезков гипотенузы).

Пусть \( h_1 \) и \( h_2 \) — высоты треугольников ADC и BDC, проведённые из вершины C.

\( \frac{S_{ADC}}{S_{BDC}} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9} \)

Так как треугольники ADC и BDC подобны, то отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих высот (или отрезков гипотенузы).

Пусть \( CD = h \) — высота, проведённая к гипотенузе AB. В треугольнике ADC, \( h \) является катетом, а в треугольнике BDC, \( h \) также является катетом. Отношение высот, проведённых из вершины C в треугольниках ADC и BDC, равно:

\( \frac{h_1}{h_2} = \sqrt{\frac{S_{ADC}}{S_{BDC}}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \)

Это означает, что отношение отрезков гипотенузы, на которые делит высота, также равно 1:3. Пусть \( AD = x \) и \( DB = 3x \).

Гипотенуза AB = \( AD + DB = x + 3x = 4x \).

Площадь всего треугольника ABC равна \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times CD = \frac{1}{2} \times (4x) \times h = 2xh \). Мы знаем, что \( S_{ABC} = 60 \text{ см}^2 \), значит \( 2xh = 60 \Rightarrow xh = 30 \).

В прямоугольном треугольнике ABC, высота \( CD \) связана с отрезками гипотенузы соотношением \( CD^2 = AD \times DB \).

\( h^2 = x \times (3x) \)

\( h^2 = 3x^2 \)

\( h = \sqrt{3}x \)

Подставим \( h \) в уравнение \( xh = 30 \):

\( x \times (\sqrt{3}x) = 30 \)

\( \sqrt{3}x^2 = 30 \)

\( x^2 = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \)

\( x = \sqrt{10\sqrt{3}} \)

Теперь найдём гипотенузу AB = \( 4x \):

\( AB = 4 \times \sqrt{10\sqrt{3}} \)

Альтернативный, более простой путь:

Отношение площадей треугольников ADC и BDC равно 6:54 = 1:9.

Так как эти треугольники подобны, то отношение их сходственных сторон равно корню квадратному из отношения площадей: \( \sqrt{1/9} = 1/3 \).

Пусть отрезки гипотенузы, на которые высоту делит гипотенузу, равны \( x \) и \( y \).

Тогда \( x/y = 1/3 \), то есть \( y = 3x \).

Гипотенуза \( c = x + y = x + 3x = 4x \).

Высота \( h \) в прямоугольном треугольнике удовлетворяет условию \( h^2 = x \times y \).

Площадь \( S_{ABC} = 60 \text{ см}^2 \). Также \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times c \times h = \frac{1}{2} \times 4x \times h = 2xh \).

\( 2xh = 60 \Rightarrow xh = 30 \).

Подставим \( y=3x \) в \( h^2 = xy \): \( h^2 = x(3x) = 3x^2 \).

Из \( xh = 30 \) выразим \( h = 30/x \).

Подставим в \( h^2 = 3x^2 \):

\( (30/x)^2 = 3x^2 \)

\( 900/x^2 = 3x^2 \)

\( 900 = 3x^4 \)

\( x^4 = 300 \)

\( x^2 = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \)

\( x = \sqrt{10\sqrt{3}} \)

Гипотенуза \( c = 4x \).

\( c^2 = (4x)^2 = 16x^2 = 16(10\sqrt{3}) = 160\sqrt{3} \)

\( c = \sqrt{160\sqrt{3}} \)

Рассмотрим подобие треугольников.

Площадь \( S_1 = 6 \text{ см}^2 \), \( S_2 = 54 \text{ см}^2 \).

Отношение площадей \( k^2 = S_1/S_2 = 6/54 = 1/9 \).

Отношение сходственных сторон (катетов малых треугольников) \( k = \sqrt{1/9} = 1/3 \).

Пусть катеты первого треугольника \( a_1, b_1 \) и второго \( a_2, b_2 \). Пусть \( a_1 \) соответствует \( a_2 \), и \( b_1 \) соответствует \( b_2 \). В нашем случае, если \( S_1 \) — площадь треугольника с меньшим катетом \( a \), а \( S_2 \) — с большим катетом \( b \), то \( a/b = 1/3 \).

В прямоугольном треугольнике, высота \( h \) к гипотенузе \( c \) делит её на отрезки \( p \) и \( q \) так, что \( h^2 = pq \), \( a^2 = pc \), \( b^2 = qc \). Также \( c = p+q \).

Площадь \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch \).

Площадь первого малого треугольника \( S_1 = \frac{1}{2}ph \) (если \( p \) — отрезок гипотенузы, прилежащий к катету \( a \)) или \( S_1 = \frac{1}{2} \times a \times h_a \), где \( h_a \) — высота, проведённая из вершины с углом \( \beta \) к катету \( a \).

Но в задаче даны площади двух треугольников, на которые делит гипотенузу высота. Это треугольники ADC и BDC. Их площади равны 6 и 54.

Треугольники ADC и BDC подобны треугольнику ABC.

\( \triangle ADC \sim \triangle CDB \sim \triangle ACB \)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

\( \frac{S_{ADC}}{S_{CDB}} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9} \)

Пусть коэффициент подобия \( k \). Тогда \( k^2 = 1/9 \), значит \( k = 1/3 \).

Это значит, что отношение соответственных сторон треугольников ADC и CDB равно 1/3.

Пусть \( AD = x \) и \( DB = y \). Тогда \( x/y = 1/3 \), или \( y = 3x \).

Гипотенуза \( AB = c = x + y = x + 3x = 4x \).

Площадь \( S_{ABC} = S_{ADC} + S_{CDB} = 6 + 54 = 60 \text{ см}^2 \).

Также площадь \( S_{ABC} = \frac{1}{2}ab \).

Используем свойство высоты прямоугольного треугольника: \( h^2 = x \times y \), где \( h \) — высота, а \( x \) и \( y \) — отрезки гипотенузы.

\( h^2 = x \times (3x) = 3x^2 \).

Теперь найдем площадь через гипотенузу и высоту: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} c h = \frac{1}{2} (4x) h = 2xh \).

\( 2xh = 60 \Rightarrow xh = 30 \).

Мы имеем систему уравнений:

1. \( h^2 = 3x^2 \)
2. \( xh = 30 \)

Из второго уравнения: \( h = 30/x \).

Подставим в первое:

\( (30/x)^2 = 3x^2 \)

\( 900/x^2 = 3x^2 \)

\( 900 = 3x^4 \)

\( x^4 = 300 \)

\( x^2 = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \)

\( x = \sqrt{10\sqrt{3}} \) см.

Тогда гипотенуза \( c = 4x \).

\( c = 4 \sqrt{10\sqrt{3}} \) см.

Сделаем проверку:

\( x = \sqrt{10\sqrt{3}} \)

\( y = 3x = 3 \sqrt{10\sqrt{3}} \)

\( h = 30/x = 30 / \sqrt{10\sqrt{3}} \)

\( h^2 = 900 / (10\sqrt{3}) = 90/\sqrt{3} = 30\sqrt{3} \).

\( 3x^2 = 3(10\sqrt{3}) = 30\sqrt{3} \). Проверка \( h^2 = 3x^2 \) верна.

\( c = x+y = 4x = 4 \sqrt{10\sqrt{3}} \).

\( S_{ABC} = \frac{1}{2} c h = \frac{1}{2} (4 \sqrt{10\sqrt{3}}) (30 / \sqrt{10\sqrt{3}}) = \frac{1}{2} 4 30 = 60 \text{ см}^2 \).

Проверка верна.

Гипотенуза равна \( c = 4x \).

\( c^2 = 16x^2 = 16 10\sqrt{3} = 160\sqrt{3} \).

\( c = \sqrt{160\sqrt{3}} \).

Другой подход:

Пусть \( S_1=6 \text{ см}^2 \) и \( S_2=54 \text{ см}^2 \).

Пусть \( a_1, b_1 \) — катеты первого треугольника, \( a_2, b_2 \) — катеты второго.

\( S_1 = \frac{1}{2} a_1 b_1 \), \( S_2 = \frac{1}{2} a_2 b_2 \).

Треугольники подобны с коэффициентом \( k=1/3 \).

Пусть \( a_1 \) и \( a_2 \) — катеты, лежащие на гипотенузе большого треугольника.

Тогда \( a_1 / a_2 = 1/3 \). \( a_2 = 3a_1 \).

Пусть \( b_1 \) и \( b_2 \) — вторые катеты. \( b_1 / b_2 = 1/3 \). \( b_2 = 3b_1 \).

В прямоугольном треугольнике ABC, пусть \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза. Высота \( h \) делит \( c \) на \( p \) и \( q \).

\( S_1 = \frac{1}{2}ph = 6 \), \( S_2 = \frac{1}{2}qh = 54 \).

\( ph = 12 \), \( qh = 108 \).

\( q/p = 108/12 = 9 \).

\( q = 9p \).

Гипотенуза \( c = p + q = p + 9p = 10p \).

Высота \( h^2 = pq = p(9p) = 9p^2 \). \( h = 3p \).

Подставим \( h=3p \) в \( ph = 12 \):

\( p(3p) = 12 \)

\( 3p^2 = 12 \)

\( p^2 = 4 \)

\( p = 2 \) см.

Тогда \( q = 9p = 9 2 = 18 \) см.

Гипотенуза \( c = p + q = 2 + 18 = 20 \) см.

Проверим высотой: \( h = 3p = 3 2 = 6 \) см.

\( S_1 = \frac{1}{2}ph = \frac{1}{2} 2 6 = 6 \text{ см}^2 \).

\( S_2 = \frac{1}{2}qh = \frac{1}{2} 18 6 = 54 \text{ см}^2 \).

Всё верно.

Ответ: 20 см.