9. Во время летнего лагеря дети играли в волейбол на пляже. Никита с силой отбил мяч, и тот достиг высоты 6 метров. Через некоторое время Полина поймала мяч на высоте 2 метра от песка. Ребята заинтересовались: какова была скорость мяча в тот момент, когда Полина его поймала?

Решение:

Дано:

• Высота, до которой отбил Никита, \( h_1 = 6 \) м.
• Высота, на которой Полина поймала мяч, \( h_2 = 2 \) м.

Найти: Скорость мяча в момент, когда Полина его поймала, \( v \) — ?

Формула:

Для решения задачи будем использовать закон сохранения механической энергии (без учета сопротивления воздуха):

\[ E_k_1 + E_p_1 = E_k_2 + E_p_2 \]

где \( E_k = \frac{mv^2}{2} \) — кинетическая энергия, \( E_p = mgh \) — потенциальная энергия.

В точке наивысшего подъема \( h_1 = 6 \) м, скорость мяча равна 0, поэтому \( E_{k1} = 0 \). В точке, где Полина поймала мяч, \( h_2 = 2 \) м.

Учитывая, что потенциальная энергия отсчитывается от уровня, где Полина поймала мяч (\( h_2=0 \) в этой системе отсчета), то \( E_{p2}=0 \). Уровень, с которого Никита отбил мяч, можно принять за \( h_0 \). Тогда в момент, когда Полина поймала мяч, его высота над этим уровнем будет \( h = h_2 - h_0 \). Но проще взять за нулевой уровень поверхность песка, тогда \( h_1 = 6 \) м и \( h_2 = 2 \) м. Скорость мяча в наивысшей точке равна 0.

В начальный момент (когда Никита отбил мяч) кинетическая энергия \( E_{k1} = \frac{mv_0^2}{2} \), потенциальная энергия \( E_{p1} = 0 \) (принимаем уровень песка за нулевой).

В момент, когда Полина поймала мяч (высота \( h_2 = 2 \) м), кинетическая энергия \( E_{k2} = \frac{mv^2}{2} \), потенциальная энергия \( E_{p2} = mgh_2 \).

Закон сохранения энергии:

\[ E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} \]

\[ \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv^2}{2} + mgh_2 \]

В условии сказано, что мяч достиг высоты 6 метров. Это означает, что начальная скорость \( v_0 \) была такой, что он мог достичь этой высоты. Однако, чтобы найти скорость в момент, когда Полина поймала мяч, мы можем использовать следующую логику: мяч, отскочив от Никиты, летел вверх, затем вниз. Полина поймала его на высоте 2 метра. Информация о 6 метрах — это максимальная высота, которую мог достичь мяч, если бы не был пойман.

Если принять, что мяч, отбитый Никитой, достиг максимальной высоты 6 метров, то его начальная кинетическая энергия перешла в потенциальную энергию в высшей точке.

\[ \frac{mv_0^2}{2} = mgh_{max} \]

где \( h_{max} = 6 \) м.

Теперь рассмотрим момент, когда Полина поймала мяч на высоте \( h_2 = 2 \) м. В этом случае у мяча есть кинетическая энергия \( E_{k2} = \frac{mv^2}{2} \) и потенциальная энергия \( E_{p2} = mgh_2 \).

Из закона сохранения энергии, если мы рассматриваем процесс от момента отбития до момента поимки:

\[ \frac{mv_0^2}{2} + mgh_{start} = \frac{mv^2}{2} + mgh_2 \]

Предположим, что отбитие произошло с уровня песка \( h_{start} = 0 \).

\[ \frac{mv_0^2}{2} = mgh_{max} \]

Скорость \( v_0 \) в момент отбития, если бы мяч достиг 6 м:

\[ v_0 = \sqrt{2gh_{max}} \]

Теперь найдем скорость \( v \) на высоте \( h_2 = 2 \) м, используя закон сохранения энергии между начальным моментом (скорость \( v_0 \), высота 0) и моментом поимки (скорость \( v \), высота \( h_2 \)):

\[ \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv^2}{2} + mgh_2 \]

Подставляем \( \frac{mv_0^2}{2} = mgh_{max} \):

\[ mgh_{max} = \frac{mv^2}{2} + mgh_2 \]

Сокращаем массу \( m \):

\[ gh_{max} = \frac{v^2}{2} + gh_2 \]

Выражаем \( v^2 \):

\[ \frac{v^2}{2} = gh_{max} - gh_2 \]

\[ v^2 = 2g(h_{max} - h_2) \]

\[ v = \sqrt{2g(h_{max} - h_2)} \]

Примем \( g \) ≈ 10 м/с².

\[ v = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot (6 - 2)} \]

\[ v = \sqrt{20 \cdot 4} \]

\[ v = \sqrt{80} \]

\[ v \approx 8.94 \text{ м/с} \]

Или, если принять \( g \) ≈ 9.8 м/с²:

\[ v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot (6 - 2)} \]

\[ v = \sqrt{19.6 \cdot 4} \]

\[ v = \sqrt{78.4} \]

\[ v \approx 8.85 \text{ м/с} \]

Ответ: Скорость мяча в момент, когда Полина его поймала, составляла приблизительно 8.94 м/с (при g=10 м/с²) или 8.85 м/с (при g=9.8 м/с²).