*9. В прямоугольнике МРKH O – точка пересечения диагоналей. Точки А и В – середины сторон МР и МН соответственно. Точка С делит отрезок МК в отношении 1 : 7, считая от точки М; АС ⊥ МК. Найдите отношение сторон ВО и РН.

Решение:

Дано: прямоугольник МРKH, O – точка пересечения диагоналей, A – середина МР, B – середина МН, C делит МК в отношении 1:7 (от М), AC ⊥ MK.

Найти: BO : PH.

Так как ABCD — прямоугольник, то диагонали AC и BD точкой пересечения O делятся пополам. Рассмотрим треугольник МРК. По условию, A — середина МР, значит, MA = AP. Точка C делит МК в отношении 1:7, считая от М. Пусть MC = x, CK = 7x. Тогда MK = 8x.

В прямоугольнике МРKH: MP = KH, MR = PK. Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: MO = OK = KO = OH. Также, AC ⊥ MK.

Рассмотрим треугольник МPK. AC — медиана, проведённая из вершины A к стороне MK. Так как AC ⊥ MK, то треугольник МPK — равнобедренный с MP = PK.

В прямоугольнике, если соседние стороны равны, то это квадрат. Следовательно, МРKH — квадрат.

В квадрате диагонали равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. То есть, MK ⊥ PH.

В квадрате диагонали равны: MK = PH.

Точка O — центр квадрата.

BO — это половина диагонали BD. Так как ABCD — квадрат, то BD = MK = PH.

BO = BD/2. PH — диагональ.

BO = (MK)/2. PH = MK.

Найдем отношение BO : PH.

BO : PH = (MK/2) : MK = (MK/2) * (1/MK) = 1/2.

Ответ: 1 : 2