9. В окружности с центром O проведены два диаметра AB и CD (см. рис. 120). Известно, что их общая длина составляет 40 и угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника AOC.

Решение:

По условию:

• Диаметры $$AB$$ и $$CD$$ имеют общую длину 40.
• Угол между диаметрами $$\angle AOC = 60^{\circ}$$.

Так как $$AB$$ и $$CD$$ — диаметры, то $$O$$ — центр окружности. Радиус окружности равен половине диаметра.

\[ R = \frac{40}{2} = 20 \]

Радиусы $$OA$$ и $$OC$$ являются сторонами треугольника $$AOC$$. Длина каждого радиуса равна 20.

\[ OA = OC = R = 20 \]

Треугольник $$AOC$$ является равнобедренным, так как $$OA = OC$$. Угол между равными сторонами $$\angle AOC = 60^{\circ}$$.

Если в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 60°, то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны.

\[ OA = OC = AC = 20 \]

Периметр треугольника $$AOC$$ равен сумме длин его сторон:

\[ P_{AOC} = OA + OC + AC \]\[ P_{AOC} = 20 + 20 + 20 \]\[ P_{AOC} = 60 \]

Ответ: 60