9. В каждой грани куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см (рис. 26.11). Найдите объём оставшейся части.

Решение:

Объём куба вычисляется по формуле \( V = a^3 \), где \( a \) — длина ребра куба.

1. Найдем объём всего куба:

\( V_{куба} = 6^3 = 216 \) см³.

2. Из куба удалили три сквозных квадратных отверстия. Каждое отверстие имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Длина и ширина каждого отверстия равны стороне квадрата — 2 см, а высота равна ребру куба — 6 см. Найдем объём одного такого отверстия:

\( V_{отверстия} = 2 \times 2 \times 6 = 24 \) см³.

3. Поскольку отверстия сквозные и проходят через каждую грань, они пересекаются. Нам нужно учесть объём пересечений.

* Центральная часть, где пересекаются все три отверстия, имеет форму куба со стороной 2 см. Ее объём: \( V_{пересечения} = 2^3 = 8 \) см³.

* Каждое из трех отверстий при вычитании из объёма куба содержит этот центральный куб. Поэтому, вычитая объёмы трёх отверстий, мы трижды вычли объём центрального пересечения.

* Объём, который нужно вычесть из объёма куба, будет равен сумме объёмов трёх отверстий минус удвоенный объём центрального пересечения (так как он был учтён трижды вместо одного):

\( V_{удаляемый} = 3 \times V_{отверстия} - 2 \times V_{пересечения} = 3 \times 24 - 2 \times 8 = 72 - 16 = 56 \) см³.

4. Найдем объём оставшейся части куба:

\( V_{оставшейся} = V_{куба} - V_{удаляемый} = 216 - 56 = 160 \) см³.

Ответ: 160 см³.