9. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $$H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0} \cdot kt + \frac{g}{2} k^2 t^2$$, где $$t$$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $$H_0 = 5$$ м — начальная высота столба воды, $$k = \frac{1}{800}$$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $$g$$ — ускорение свободного падения (считайте, что $$g = 10$$ м/с²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды? (Единицы измерения в ответе писать не надо.)

Решение:

Дано:

• Начальная высота столба воды: \( H_0 = 5 \text{ м} \)
• Закон изменения высоты: \( H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0} \cdot kt + \frac{g}{2} k^2 t^2 \)
• Отношение площадей: \( k = \frac{1}{800} \)
• Ускорение свободного падения: \( g = 10 \text{ м/с}^2 \)
• Требуется найти время, когда останется четверть первоначального объёма воды. Поскольку бак цилиндрический, это означает, что высота столба воды станет равной четверти начальной высоты: \( H(t) = \frac{1}{4} H_0 \).

Найдем конечную высоту:

\( H(t) = \frac{1}{4} \cdot 5 = 1.25 \text{ м} \)

Теперь подставим известные значения в уравнение для высоты:

\[ 1.25 = 5 - \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} \cdot \frac{1}{800} t + \frac{10}{2} \left( \frac{1}{800} \right)^2 t^2 \]

Упростим выражение:

\[ 1.25 = 5 - \sqrt{100} \cdot \frac{1}{800} t + 5 \cdot \frac{1}{640000} t^2 \]

\[ 1.25 = 5 - 10 \cdot \frac{1}{800} t + \frac{5}{640000} t^2 \]

\[ 1.25 = 5 - \frac{1}{80} t + \frac{1}{128000} t^2 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ \frac{1}{128000} t^2 - \frac{1}{80} t + 5 - 1.25 = 0 \]

\[ \frac{1}{128000} t^2 - \frac{1}{80} t + 3.75 = 0 \]

Умножим всё уравнение на \( 128000 \), чтобы избавиться от дробей:

\[ t^2 - \frac{128000}{80} t + 3.75 \cdot 128000 = 0 \]

\[ t^2 - 1600 t + 480000 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1600)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480000 \]

\[ D = 2560000 - 1920000 = 640000 \]

Найдем квадратный корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{640000} = 800 \]

Теперь найдем значения \( t \):

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1600 + 800}{2 \cdot 1} = \frac{2400}{2} = 1200 \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1600 - 800}{2 \cdot 1} = \frac{800}{2} = 400 \]

Поскольку нам нужно найти время, через которое останется четверть объема, и мы получили два положительных значения времени, меньшее значение \( t = 400 \) секунд соответствует моменту, когда высота воды достигнет \( \frac{1}{4} H_0 \). Большее значение \( t = 1200 \) секунд, вероятно, соответствует моменту, когда уровень воды достигнет нуля или ниже, если модель применима до полного опустошения.

Ответ: 400