9. Рис. 21. Найти: ∠AOC, P_ABC.

Точка O — центр вписанной окружности треугольника. Угол между радиусами, проведёнными к точкам касания сторон AB и AC, равен

\[\angle AOC=90^\circ+\frac{\angle B}{2}=90^\circ+30^\circ=120^\circ.\]

По свойству касательных из одной точки:

\[AM=AK=4,\quad BM=BN=2,\quad CN=CK=3.\]

Следовательно,

\[AB=4+2=6,\quad BC=2+3=5,\quad AC=4+3=7.\]

Периметр:

\[P_{ABC}=6+5+7=18.\]

Ответ: \(\angle AOC=120^\circ\), \(P_{ABC}=18\).