9. Решите уравнение: a) 1+ 1 2+ 1 3+ 1 7-x2 = 1 10; 23

Решение

Это задание на решение уравнения с непрерывной дробью. Запишем смешанное число в виде неправильной дроби:

\( 1\frac{10}{23} = \frac{1 · 23 + 10}{23} = \frac{23 + 10}{23} = \frac{33}{23} \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7-x^2}}} = \frac{33}{23} \)

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

\( \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7-x^2}}} = \frac{33}{23} - 1 = \frac{33 - 23}{23} = \frac{10}{23} \)

Возьмем обратные величины от обеих частей:

\( 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7-x^2}} = \frac{23}{10} \)

Вычтем 2 из обеих частей:

\( \frac{1}{3 + \frac{1}{7-x^2}} = \frac{23}{10} - 2 = \frac{23 - 20}{10} = \frac{3}{10} \)

Возьмем обратные величины от обеих частей:

\( 3 + \frac{1}{7-x^2} = \frac{10}{3} \)

Вычтем 3 из обеих частей:

\( \frac{1}{7-x^2} = \frac{10}{3} - 3 = \frac{10 - 9}{3} = \frac{1}{3} \)

Возьмем обратные величины от обеих частей:

\( 7-x^2 = 3 \)

Перенесем 3 в левую часть, а \( x^2 \) в правую:

\( 7 - 3 = x^2 \)

\( x^2 = 4 \)

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\( x = ±√4 \)

\( x = ±2 \)

Проверка:

При \( x=2 \), \( 7-x^2 = 7-4=3 \). Уравнение равно \( 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3}}} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{10}{3}}} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{3}{10}} = 1 + \frac{1}{\frac{23}{10}} = 1 + \frac{10}{23} = 1\frac{10}{23} \).

При \( x=-2 \), \( 7-x^2 = 7-4=3 \). Уравнение равно \( 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{3}}} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{10}{3}}} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{3}{10}} = 1 + \frac{1}{\frac{23}{10}} = 1 + \frac{10}{23} = 1\frac{10}{23} \).

Ответ: \( x = ±2 \)