9. Прямая призма. ABCD - прямоугольник. AB = 6, AD = 4, AA₁ = 5. Найдите длину диагонали BD₁.

Решение:

1. В основании призмы лежит прямоугольник ABCD. Найдем длину диагонали основания AC (или BD) по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABD:

\( BD^2 = AB^2 + AD^2 \) \( BD^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \) \( BD = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)

2. Диагональное сечение призмы - прямоугольник BDD₁B₁. Треугольник BDD₁ является прямоугольным.

3. Найдем длину диагонали призмы BD₁ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BDD₁:

\( BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 \) \( BD_1^2 = 52 + 5^2 = 52 + 25 = 77 \) \( BD_1 = \sqrt{77} \)

Ответ: $$\sqrt{77}$$