9. Найдите корни уравнения: \(\frac{21}{x+1} = \frac{16}{x-2} - \frac{6}{x}\).

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \( x \). Знаменатели не должны быть равны нулю: \( x+1
   e 0 \), \( x-2
   e 0 \), \( x
   e 0 \). Значит, \( x
   e -1 \), \( x
   e 2 \), \( x
   e 0 \).
2. Приведём уравнение к общему знаменателю, который равен \( x(x+1)(x-2) \): \[ \frac{21x(x-2)}{x(x+1)(x-2)} = \frac{16x(x+1)}{x(x+1)(x-2)} - \frac{6(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)} \].
3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( x(x+1)(x-2) \): \( 21x(x-2) = 16x(x+1) - 6(x+1)(x-2) \).
4. Раскроем скобки: \( 21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6(x^2 - 2x + x - 2) \).
5. Упростим выражение в правой части: \( 21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6(x^2 - x - 2) \).
6. Продолжим раскрывать скобки: \( 21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6x^2 + 6x + 12 \).
7. Приведём подобные слагаемые в правой части: \( 21x^2 - 42x = 10x^2 + 22x + 12 \).
8. Перенесём все члены уравнения в левую часть: \( 21x^2 - 10x^2 - 42x - 22x - 12 = 0 \).
9. Приведём подобные слагаемые: \( 11x^2 - 64x - 12 = 0 \).
10. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-12) = 4096 + 528 = 4624 \).
11. Найдём корни квадратного уравнения: \( \sqrt{D} = \sqrt{4624} = 68 \).
12. \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 68}{2 \cdot 11} = \frac{132}{22} = 6 \).
13. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 68}{2 \cdot 11} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} \).
14. Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. \( 6
    e -1, 2, 0 \) и \( -\frac{2}{11}
    e -1, 2, 0 \). Оба корня подходят.

Ответ: x₁ = 6, x₂ = -\(\frac{2}{11}\).