9. Найдите корни уравнения: 21/(x+1) = 16/(x-2) - 6/x.

Решение:

Найдем общий знаменатель для всех дробей, который равен \( x(x+1)(x-2) \). Перед началом решения определим ОДЗ: \( x
e 0, x
e -1, x
e 2 \).

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

\[ \frac{21}{x+1} \cdot x(x+1)(x-2) = \frac{16}{x-2} \cdot x(x+1)(x-2) - \frac{6}{x} \cdot x(x+1)(x-2) \]\[ 21x(x-2) = 16x(x+1) - 6(x+1)(x-2) \]

Раскроем скобки:

\[ 21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6(x^2 - 2x + x - 2) \]\[ 21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6(x^2 - x - 2) \]\[ 21x^2 - 42x = 16x^2 + 16x - 6x^2 + 6x + 12 \]\[ 21x^2 - 42x = 10x^2 + 22x + 12 \]

Перенесем все члены в левую часть:

\[ 21x^2 - 10x^2 - 42x - 22x - 12 = 0 \]\[ 11x^2 - 64x - 12 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. \( a = 11 \), \( b = -64 \), \( c = -12 \).

\[ D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-12) \]\[ D = 4096 + 528 \]\[ D = 4624 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{4624} = 68 \]\[ ]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + 68}{2 \cdot 11} = \frac{132}{22} = 6 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - 68}{2 \cdot 11} = \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} \]

Оба корня \( 6 \) и \( -2/11 \) не противоречат ОДЗ.

Ответ: x₁ = 6, x₂ = -2/11.