9. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Решение:

Средняя линия треугольника, параллельная одной из его сторон, равна половине длины этой стороны.

На рисунке изображен треугольник ABC. Средняя линия, параллельная стороне AC, соединяет середины сторон AB и BC. Длина этой средней линии равна половине длины стороны AC.

Из рисунка видно, что сторона AC состоит из 3 клеток по горизонтали и 0 клеток по вертикали, если считать от точки A до точки C. Координаты A (0, 3), C (3, 0). Длина AC = \( \sqrt{(3-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).

Посчитаем длину стороны AC по клеткам, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного стороной AC и проекциями на оси. Горизонтальная проекция равна 3 клеткам, вертикальная проекция равна 3 клеткам.

\( AC = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

Длина средней линии, параллельной AC, равна \( \frac{1}{2} AC \).

Длина средней линии = \( \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \)

Ответ: \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \)