9. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКВ, если площадь треугольника АВС равна 15 см².

Решение:

В треугольнике АВС проведены медианы, которые пересекаются в точке К. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих по площади треугольников. Треугольник АКВ состоит из двух таких треугольников (например, треугольники AKF и BFK, если F — середина AB).

Площадь треугольника АКВ составляет 1/3 от площади всего треугольника АВС, так как медиана делит треугольник пополам, а точка К делит медиану пополам.

Более детально: медиана CD делит площадь треугольника АВС пополам. Площадь треугольника ACD = Площадь треугольника BCD = 15 / 2 = 7.5 см².

Медиана BF делит треугольник ABC пополам. Площадь треугольника ABF = Площадь треугольника CBF = 15 / 2 = 7.5 см².

Рассмотрим треугольник ABF. Медиана BK делит его пополам. Следовательно, Площадь треугольника AKB = Площадь треугольника KBF = 7.5 / 2 = 3.75 см².

Или, используя свойство точки пересечения медиан:

Площадь треугольника АКВ = \( \frac{1}{3} \) Площадь треугольника АВС.

Площадь треугольника АКВ = \( \frac{1}{3} \times 15 \text{ см}^2 \) = 5 см².

Ответ: 5 см².