Контрольные задания
Вопрос:

9. Лабораторный прибор регистрирует электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = U₀ sin(ωt + φ), где t — время в секундах, амплитуда напряжения U₀ = 6 В, частота ω = 4π/3, а начальная фаза φ = π/12. Прибор устроен так, что если напряжение U в нём не ниже 3 В, загорается сигнальный светодиод. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы прибора светодиод будет гореть?

Фото заданияФото задания

Ответ:

Дано:


Закон изменения напряжения: U = U₀ sin(ωt + φ)


U₀ = 6 В


ω = 4π/3 рад/с


φ = π/12 рад


Условие загорания светодиода: U ≥ 3 В


Время наблюдения: t от 0 до 1 с



Найти:


Часть времени (в процентах), когда светодиод горит.



Решение:


Подставим данные в закон изменения напряжения:


U(t) = 6 sin( (4π/3)t + π/12 )



Найдем время, когда светодиод загорается, то есть когда U(t) ≥ 3 В:


6 sin( (4π/3)t + π/12 ) ≥ 3


sin( (4π/3)t + π/12 ) ≥ 1/2



Решим неравенство sin(x) ≥ 1/2.


Основные значения, где sin(x) = 1/2, это x = π/6 и x = 5π/6.


Следовательно, неравенство sin(x) ≥ 1/2 выполняется, когда:


π/6 + 2πn ≤ x ≤ 5π/6 + 2πn, где n — целое число.



Подставим x = (4π/3)t + π/12:


π/6 + 2πn ≤ (4π/3)t + π/12 ≤ 5π/6 + 2πn



Вычтем π/12 из всех частей неравенства:


π/6 - π/12 + 2πn ≤ (4π/3)t ≤ 5π/6 - π/12 + 2πn


π/12 + 2πn ≤ (4π/3)t ≤ 9π/12 + 2πn


π/12 + 2πn ≤ (4π/3)t ≤ 3π/4 + 2πn



Разделим все части на 4π/3:


(π/12) / (4π/3) + (2πn) / (4π/3) ≤ t ≤ (3π/4) / (4π/3) + (2πn) / (4π/3)


(π/12) * (3/4π) + 2πn * (3/4π) ≤ t ≤ (3π/4) * (3/4π) + 2πn * (3/4π)


1/16 + 3n/2 ≤ t ≤ 9/16 + 3n/2



Нам нужно найти время в течение первой секунды, то есть 0 ≤ t ≤ 1.



Рассмотрим случаи для n:




  • При n = 0:

    • 1/16 ≤ t ≤ 9/16


    В этом интервале t находится в пределах от 0 до 1. Продолжительность этого интервала: 9/16 - 1/16 = 8/16 = 1/2 секунды.



  • При n = 1:

    • 1/16 + 3/2 ≤ t ≤ 9/16 + 3/2


    33/16 ≤ t ≤ 57/16. Этот интервал выходит за пределы 0 ≤ t ≤ 1.



  • При n = -1:

    • 1/16 - 3/2 ≤ t ≤ 9/16 - 3/2


    -23/16 ≤ t ≤ -9/16. Этот интервал также выходит за пределы 0 ≤ t ≤ 1.




Таким образом, в течение первой секунды светодиод горит в интервале [1/16, 9/16]. Общая продолжительность горения светодиода за первую секунду равна 1/2 секунды.



Чтобы найти, какую часть времени это составляет в процентах, разделим продолжительность горения на общее время наблюдения (1 секунда) и умножим на 100%:


(1/2 с / 1 с) * 100% = 0.5 * 100% = 50%



Ответ: 50%

📄 Все ответы📸 Решить моё задание