9. Исследуйте функцию $$f(x)=-x^4 + 4x^3-3$$ и постройте ее график.

Исследование функции $$f(x)=-x^4 + 4x^3-3$$:

1. Область определения:

• Функция является многочленом, поэтому область определения $$D(f) = (-∞; +∞)$$.

2. Четность и нечетность:

• $$f(-x) = -(-x)^4 + 4(-x)^3 - 3 = -x^4 - 4x^3 - 3$$.
• $$f(-x) ≠ f(x)$$ и $$f(-x) ≠ -f(x)$$. Функция ни четная, ни нечетная.

3. Точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy: Положим $$x = 0$$. $$f(0) = -(0)^4 + 4(0)^3 - 3 = -3$$. Точка пересечения: (0; -3).
• С осью Ox: Положим $$f(x) = 0$$. $$-x^4 + 4x^3 - 3 = 0$$. Это уравнение сложно решить аналитически.

4. Производная и монотонность:

• $$f'(x) = (-x^4 + 4x^3 - 3)' = -4x^3 + 12x^2$$.
• Найдем точки, в которых производная равна нулю:
• $$-4x^3 + 12x^2 = 0$$
• $$-4x^2(x - 3) = 0$$.
• $$x = 0$$ (корень кратности 2) или $$x = 3$$.
• Определим знаки производной:
• При $$x < 0$$ (например, $$x = -1$$): $$f'(-1) = -4(-1)^3 + 12(-1)^2 = -4(-1) + 12(1) = 4 + 12 = 16 > 0$$. Функция возрастает.
• При $$0 < x < 3$$ (например, $$x = 1$$): $$f'(1) = -4(1)^3 + 12(1)^2 = -4 + 12 = 8 > 0$$. Функция возрастает.
• При $$x > 3$$ (например, $$x = 4$$): $$f'(4) = -4(4)^3 + 12(4)^2 = -4(64) + 12(16) = -256 + 192 = -64 < 0$$. Функция убывает.
• Вывод: Функция возрастает на $$(-∞; 3]$$ и убывает на $$[3; +∞)$$.

5. Экстремумы:

• В точке $$x=3$$ происходит смена знака производной с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.
• $$f(3) = -(3)^4 + 4(3)^3 - 3 = -81 + 4(27) - 3 = -81 + 108 - 3 = 24$$.
• Точка максимума: (3; 24).
• В точке $$x=0$$ производная не меняет знак, это не экстремум, а точка перегиба с горизонтальной касательной.

6. График:

Для построения графика используем найденные точки и информацию о монотонности.