9) Докажите, что векторы A = (4; −2; 1), B = (2; −1; 1), C = (3; −3; −2) образуют базис, и найдите разложение вектора X = (5; −4; −3) в этом базисе.

Векторы в трёхмерном пространстве образуют базис, если определитель, составленный из их координат, не равен нулю:

\[\begin{vmatrix}4&2&3\\-2&-1&-3\\1&1&-2\end{vmatrix}=3\ne0.\]

Значит, векторы A, B, C образуют базис.

Ищем числа \(a,b,c\), для которых \(X=aA+bB+cC\). Получаем систему:

\[\begin{cases}4a+2b+3c=5,\\-2a-b-3c=-4,\\a+b-2c=-3.\end{cases}\]

Сложим первое уравнение с удвоенным вторым: \(-3c=-3\), поэтому \(c=1\). Подставим в оставшиеся уравнения: \(2a+b=1\), \(a+b=-1\). Отсюда \(a=2\), \(b=-3\).

Проверка: \(2A-3B+C=(8-6+3;\,-4+3-3;\,2-3-2)=(5;\,-4;\,-3)=X\).

Ответ: векторы A, B, C образуют базис; \(X=2A-3B+C\).