9. Баскетболист бросает мяч 5 раз. Вероятность попадания при одном броске — 3/4. Найдите вероятность того, что он попадёт ровно 3 раза. Округлить результат до тысячных.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Формула для вероятности \( k \) успехов в \( n \) независимых испытаниях:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где:

• \( n \) — количество испытаний (бросков) = 5.
• \( k \) — количество успехов (попаданий) = 3.
• \( p \) — вероятность успеха (попадания) = \( \frac{3}{4} = 0,75 \).
• \( q \) — вероятность неудачи (промаха) = \( 1 - p = 1 - 0,75 = 0,25 \).
• \( C_n^k \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

1. Рассчитаем биномиальный коэффициент \( C_5^3 \):

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

2. Рассчитаем вероятность попадания 3 раза:

\[ p^3 = (0,75)^3 = 0,421875 \]

3. Рассчитаем вероятность промаха 2 раза (5 - 3 = 2):

\[ q^{5-3} = q^2 = (0,25)^2 = 0,0625 \]

4. Подставим значения в формулу биномиального распределения:

\[ P(X=3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^2 = 10 \cdot 0,421875 \cdot 0,0625 \]

\[ P(X=3) = 10 \cdot 0,0263671875 = 0,263671875 \]

5. Округлим результат до тысячных:

Ответ: 0,264