9. AD || BE, $\angle$ DCB = ?

Question

9. AD || BE, $\angle$ DCB = ?

$Фото задания: 9. AD || BE, $\angle$ DCB = ?$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

Проведём прямую $ CK $ через точку $ C $ так, чтобы $ CK \parallel AD $ и $ CK \parallel BE $.

Угол $ ⌂ ACD $ и угол $ ⌂ CAD $ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $ AD $ и $ CK $ и секущей $ AC $. Следовательно, $ ⌂ ACD = ⌂ CAD = 43^⌂ $.

Угол $ ⌂ BCE $ и угол $ ⌂ CEB $ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $ BE $ и $ CK $ и секущей $ CE $. Следовательно, $ ⌂ BCE = ⌂ CEB $.

В треугольнике $ ⌂ ACD $ сумма углов равна $ 180^⌂ $. Угол $ ⌂ ADC = 180^⌂ - 43^⌂ - 25^⌂ = 112^⌂ $.

Так как $ AD ‖ BE $, то $ ⌂ DAB + ⌂ ABE = 180^⌂ $.

Рассмотрим треугольник $ ⌂ ABC $. Угол $ ⌂ ACB = 180^⌂ - 25^⌂ - 43^⌂ = 112^⌂ $.

Угол $ ⌂ DCB = ⌂ ACD + ⌂ ACB $.

В треугольнике $ ⌂ ADC $, $ ⌂ CAD = 43^⌂ $, $ ⌂ ACD = 25^⌂ $. Следовательно, $ ⌂ ADC = 180^⌂ - (43^⌂ + 25^⌂) = 180^⌂ - 68^⌂ = 112^⌂ $.

Рассмотрим секущую $ AC $ и параллельные прямые $ AD $ и $ BE $. Внутренние накрест лежащие углы $ ⌂ DAC $ и $ ⌂ ACB $ равны $ 43^⌂ $.

Рассмотрим секущую $ CD $ и параллельные прямые $ AD $ и $ BE $. Внутренние накрест лежащие углы $ ⌂ ADC $ и $ ⌂ DCE $ равны.

Рассмотрим секущую $ BD $ и параллельные прямые $ AD $ и $ BE $.

В треугольнике $ ⌂ ABC $: $ ⌂ CAB = 43^⌂ $, $ ⌂ ABC = ? $, $ ⌂ ACB = 25^⌂ $.

В треугольнике $ ⌂ BCD $: $ ⌂ CBD = ? $, $ ⌂ BDC = ? $, $ ⌂ DCB = ? $.

Поскольку $ AD ‖ BE $, то $ ⌂ DAB + ⌂ ABE = 180^⌂ $.

Введём точку $ F $ такую, что $ AF ‖ CD $. Нет, это не поможет.

Проведём прямую $ CF \parallel AD \parallel BE $ через точку $ C $. Тогда $ ⌂ ACF = ⌂ CAD = 43^⌂ $ (как накрест лежащие углы при параллельных $ AD, CF $ и секущей $ AC $).

$ ⌂ BCF = ⌂ CBE $ (как накрест лежащие углы при параллельных $ BE, CF $ и секущей $ BC $).

$ ⌂ DCB = ⌂ DCA + ⌂ ACB $.

В треугольнике $ ⌂ ADC $ имеем: $ ⌂ CAD = 43^⌂ $, $ ⌂ ACD = 25^⌂ $, значит $ ⌂ ADC = 180^⌂ - (43^⌂ + 25^⌂) = 180^⌂ - 68^⌂ = 112^⌂ $.

Так как $ AD ‖ BE $, то $ ⌂ ADC + ⌂ DCB = 180^⌂ $ (односторонние углы). Нет, это неверно.

Рассмотрим $ ⌂ DCB $. Угол $ ⌂ DCB = ⌂ DCA + ⌂ ACB $.

Угол $ ⌂ DCA $ и $ ⌂ CAD $ являются внутренними накрест лежащими при $ AD ‖ CF $ и секущей $ AC $, поэтому $ ⌂ DCA = 43^⌂ $.

Угол $ ⌂ BCE $ и $ ⌂ CBE $ являются внутренними накрест лежащими при $ BE ‖ CF $ и секущей $ BC $. Нам не известен $ ⌂ CBE $.

В треугольнике $ ⌂ ABC $ $ ⌂ CAB = 43^⌂ $, $ ⌂ ACB = 25^⌂ $. Следовательно, $ ⌂ ABC = 180^⌂ - (43^⌂ + 25^⌂) = 180^⌂ - 68^⌂ = 112^⌂ $. Это внутренний угол треугольника.

Возвращаясь к $ ⌂ DCB $. Нам нужно найти $ ⌂ DCB $.

Поскольку $ AD ‖ BE $, то $ ⌂ DAB + ⌂ ABE = 180^⌂ $.

Давайте продолжим $ DC $ и $ EB $ до пересечения с некоторой линией.

Проведём прямую $ DF ‖ AC $ через $ D $.

Правильное решение:

Проведём через точку $ C $ прямую $ MK $ параллельную $ AD $ и $ BE $.

$ ⌂ KCB = ⌂ CBE $ (внутренние накрест лежащие при $ MK ‖ BE $ и секущей $ BC $).

$ ⌂ ACM = ⌂ CAD = 43^⌂ $ (внутренние накрест лежащие при $ MK ‖ AD $ и секущей $ AC $).

Угол $ ⌂ ACB = 25^⌂ $ дан.

$ ⌂ DCB = ⌂ DCA + ⌂ ACB $.

$ ⌂ DCA $ и $ ⌂ CAD $ являются внутренними накрест лежащими при $ AD ‖ MK $ и секущей $ AC $, поэтому $ ⌂ DCA = 43^⌂ $.

$ ⌂ DCB = 43^⌂ + 25^⌂ = 68^⌂ $.

Ответ: 68.

9. AD || BE, \(\angle\) DCB = ?

Ответ:

Решение: