9. AC + AB = 15. AC, AB, \(\angle\) B, \(\angle\) BAC -?

Решение:

В данном прямоугольном треугольнике \( \angle BAC = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора: \( BC^2 = AC^2 + AB^2 \).

Из условия \( AC + AB = 15 \). Возведём обе части в квадрат: \( (AC + AB)^2 = 15^2 \) \( AC^2 + 2 \cdot AC \cdot AB + AB^2 = 225 \).

Подставим \( AC^2 + AB^2 = BC^2 \): \( BC^2 + 2 \cdot AC \cdot AB = 225 \).

Так как \( AC \) и \( AB \) — катеты, а \( BC \) — гипотенуза, то \( AC \) и \( AB \) положительны. Поэтому \( AC \) и \( AB \) могут быть равны, например, \( 7.5 \) каждому, тогда \( AC+AB=15 \) и \( BC^2 = 7.5^2 + 7.5^2 = 2 \cdot 56.25 = 112.5 \), \( BC = \sqrt{112.5} \approx 10.6 \).

Рассмотрим случай, когда \( AC = 0 \) (вырожденный треугольник), тогда \( AB = 15 \), \( BC = 15 \). \( \angle B = 0^{\circ} \).

Рассмотрим случай, когда \( AB = 0 \) (вырожденный треугольник), тогда \( AC = 15 \), \( BC = 15 \). \( \angle B = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \angle B \) может принимать значения от \( 0^{\circ} \) до \( 90^{\circ} \) (не включая \( 0^{\circ} \) и \( 90^{\circ} \) для невырожденного треугольника).

\( \angle BAC = 90^{\circ} \). \( \angle B \) может принимать значения \( (0^{\circ}, 90^{\circ}) \).

Ответ: \( \angle BAC = 90^{\circ} \), \( \angle B \in (0^{\circ}, 90^{\circ}) \).