9. а) Докажите, что значение выражения (4x − 3)/2 − 2(x + 3)/3 − (8x − 1)/6 — постоянное число. б) 1) Разложите на множители выражение (2tx + 2ty) + (x + y). 2) Известно, что t, x и y — положительные целые числа и выражение (x + y) — нечётное число. Используя ответ из пункта b1), докажите, что делители выражения (2tx + 2ty) + (x + y) также являются нечётными числами. c) 1) Разложите на множители выражение (−3 − 4s) + (8st + 6t). 2) Используя ответ из пункта c1), докажите, что для целых чисел s и t делителями выражения (−3 − 4s) + (8st + 6t) также являются нечётными числами.

а) Приведём дроби к общему знаменателю 6:

\[\frac{4x-3}{2}-\frac{2(x+3)}{3}-\frac{8x-1}{6}=\frac{12x-9-4(x+3)-(8x-1)}{6}.\]

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\[\frac{12x-9-4x-12-8x+1}{6}=\frac{-20}{6}=-\frac{10}{3}.\]

Переменная x сократилась, поэтому значение выражения постоянно и равно −10/3.

б) 1) Вынесем общий множитель x + y:

\[(2tx+2ty)+(x+y)=2t(x+y)+(x+y)=(x+y)(2t+1).\]

б) 2) По условию x + y — нечётное положительное целое число. Так как t — положительное целое число, 2t + 1 тоже нечётно. По разложению из пункта б1 выражение равно произведению двух нечётных чисел, а такое произведение нечётно. Любой целый делитель нечётного числа также нечётен: чётный делитель означал бы, что число делится на 2.

в) 1) Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:

\[(-3-4s)+(8st+6t)=-(4s+3)+2t(4s+3)=(4s+3)(2t-1).\]

в) 2) Для целых s и t числа 4s + 3 и 2t − 1 нечётны. Следовательно, их произведение нечётно. Значит, любой целый делитель этого выражения нечётен.