9.8 При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон: pV^k = 6,4 * 10³ Па·м⁴, где p – давление в газе в паскалях, V – объем газа в кубических метрах, k = 4/3. Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном 2,5 * 10⁵ Па.

Решение:

Дано:

• \( p_1 V_1^k = 6.4 \times 10^3 \) Па·м⁴ (начальное состояние)
• \( k = 4/3 \)
• \( p_2 = 2.5 \times 10^5 \) Па (конечное давление)

Используем закон адиабатического процесса:

\( pV^k = \text{const} \)

Таким образом, для двух состояний газа:

\( p_1 V_1^k = p_2 V_2^k \)

В данном случае, \( p_1 V_1^k \) — это константа, равная \( 6.4 \times 10^3 \) Па·м⁴. Нам нужно найти \( V_2 \) при \( p_2 = 2.5 \times 10^5 \) Па.

\( 6.4 \times 10^3 = (2.5 \times 10^5) V_2^{4/3} \)

Выразим \( V_2^{4/3} \):

\( V_2^{4/3} = \frac{6.4 \times 10^3}{2.5 \times 10^5} \)

\( V_2^{4/3} = \frac{6.4}{2.5} \times 10^{3-5} \)

\( V_2^{4/3} = 2.56 \times 10^{-2} \)

Теперь найдём \( V_2 \), возведя обе части в степень \( 3/4 \):

\( V_2 = (2.56 \times 10^{-2})^{3/4} \)

\( V_2 = (2.56)^{3/4} \times (10^{-2})^{3/4} \)

\( V_2 = (2.56)^{0.75} \times 10^{-1.5} \)

Вычислим \( (2.56)^{0.75} \):

\( 2.56 = 1.6^2 \)

\( (1.6^2)^{0.75} = 1.6^{2 \times 0.75} = 1.6^{1.5} = 1.6 \times \sqrt{1.6} \approx 1.6 \times 1.265 \approx 2.024 \)

Теперь подставим это значение:

\( V_2 \approx 2.024 \times 10^{-1.5} \)

\( V_2 \approx 2.024 \times 10^{-1} \times 10^{-0.5} \)

\( V_2 \approx 0.2024 \times \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.2024 \times 0.316 \approx 0.0639 \) м³

Проверим расчеты:

\( V_2 = (2.56)^{3/4} \times 10^{-2 \times 3/4} = (1.6^2)^{3/4} \times 10^{-3/2} = 1.6^{3/2} \times 10^{-3/2} = (1.6 \times 10^{-1})^{3/2} = (0.16)^{3/2} \)

\( (0.16)^{3/2} = (0.4^2)^{3/2} = 0.4^3 = 0.064 \) м³

Ответ: Объём газа будет занимать 0.064 м³.