9) (3x^2 + y^2) : 4 = 4(x+3)

Решение:

Запишем исходное уравнение:

\( (3x^2 + y^2) : 4 = 4(x+3) \)

Умножим обе части уравнения на 4:

\[ 3x^2 + y^2 = 16(x+3) \]

Раскроем скобки в правой части:

\[ 3x^2 + y^2 = 16x + 48 \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ 3x^2 - 16x + y^2 - 48 = 0 \]

Чтобы получить уравнение эллипса, приведём его к стандартному виду. Выделим полный квадрат по переменной x:

\[ 3(x^2 - \frac{16}{3}x) + y^2 - 48 = 0 \]

Дополним выражение в скобках до полного квадрата:

\[ 3(x^2 - \frac{16}{3}x + (\frac{8}{3})^2 - (\frac{8}{3})^2) + y^2 - 48 = 0 \]

\[ 3(x - \frac{8}{3})^2 - 3(\frac{64}{9}) + y^2 - 48 = 0 \]

\[ 3(x - \frac{8}{3})^2 - \frac{64}{3} + y^2 - 48 = 0 \]

\[ 3(x - \frac{8}{3})^2 + y^2 = 48 + \frac{64}{3} \]

\[ 3(x - \frac{8}{3})^2 + y^2 = \frac{144 + 64}{3} \]

\[ 3(x - \frac{8}{3})^2 + y^2 = \frac{208}{3} \]

Разделим обе части на \( \frac{208}{3} \):

\[ \frac{3(x - \frac{8}{3})^2}{\frac{208}{3}} + \frac{y^2}{\frac{208}{3}} = 1 \]

\[ \frac{9(x - \frac{8}{3})^2}{208} + \frac{3y^2}{208} = 1 \]

\[ \frac{(x - \frac{8}{3})^2}{\frac{208}{9}} + \frac{y^2}{\frac{208}{3}} = 1 \]

Это уравнение эллипса с центром в точке \( (\frac{8}{3}, 0) \).

\( a^2 = \frac{208}{3} \) и \( b^2 = \frac{208}{9} \).

Так как \( \frac{208}{3} > \frac{208}{9} \), то \( a = \sqrt{\frac{208}{3}} \) и \( b = \sqrt{\frac{208}{9}} = \frac{\sqrt{208}}{3} \).

Полуоси эллипса:

\( a = \sqrt{\frac{208}{3}} \approx \sqrt{69.33} \approx 8.33 \)

\( b = \frac{\sqrt{208}}{3} \approx \frac{14.42}{3} \approx 4.81 \)

Ответ: Уравнение описывает эллипс с центром в точке \( (\frac{8}{3}, 0) \) и полуосями \( a = \sqrt{\frac{208}{3}} \) и \( b = \frac{\sqrt{208}}{3} \).