9. (2 балла) Постройте на координатной плоскости точки М, Д, Р, К, если М(-4; 6), D(6;1), P(6;4); K(-4; -6), определите координату точки пересечения отрезка MD и луча КР.

Решение:

Построим точки на координатной плоскости:

\( M(-4; 6) \)

\( D(6; 1) \)

\( P(6; 4) \)

\( K(-4; -6) \)

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки \( M(-4; 6) \) и \( D(6; 1) \). Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точки \( M \):

\( 6 = k(-4) + b \) (1)

Подставим координаты точки \( D \):

\( 1 = k(6) + b \) (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\( 1 - 6 = (6k + b) - (-4k + b) \)

\( -5 = 6k + b + 4k - b \)

\( -5 = 10k \)

\( k = \frac{-5}{10} = -0,5 \)

Подставим \( k \) в уравнение (1):

\( 6 = -0,5(-4) + b \)

\( 6 = 2 + b \)

\( b = 6 - 2 = 4 \)

Уравнение прямой MD: \( y = -0,5x + 4 \).

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки \( K(-4; -6) \) и \( P(6; 4) \). Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точки \( K \):

\( -6 = k(-4) + b \) (3)

Подставим координаты точки \( P \):

\( 4 = k(6) + b \) (4)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

\( 4 - (-6) = (6k + b) - (-4k + b) \)

\( 10 = 6k + b + 4k - b \)

\( 10 = 10k \)

\( k = \frac{10}{10} = 1 \)

Подставим \( k \) в уравнение (4):

\( 4 = 1(6) + b \)

\( 4 = 6 + b \)

\( b = 4 - 6 = -2 \)

Уравнение прямой KP: \( y = x - 2 \).

Теперь найдём точку пересечения двух прямых, приравняв их уравнения:

\( -0,5x + 4 = x - 2 \)

\( 4 + 2 = x + 0,5x \)

\( 6 = 1,5x \)

\( x = \frac{6}{1,5} = \frac{60}{15} = 4 \)

Подставим \( x = 4 \) в уравнение прямой KP, чтобы найти \( y \):

\( y = 4 - 2 = 2 \)

Точка пересечения — \( (4; 2) \).

Ответ: Координата точки пересечения отрезка MD и луча КР равна (4; 2).