9.10 Водолазный колокол, содержащий v = 6 моль воздуха при давлении P₁ = 1,3 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления р₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = avTlog₂ P₂, где а = 9,5 — постоянная, Т = 350 К — температура воздуха. Найдите, какое давление р₂ (в атм.) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 39900 Дж.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой работы изотермического процесса и связью между давлением и объёмом.

1. Запишем данное:
   • \( v = 6 \) моль
   • \( P_1 = 1.3 \) атм.
   • \( T = 350 \) К
   • \( A = 39900 \) Дж
   • \( \alpha = 9.5 \)
2. Из условия задачи имеем формулу работы: \( A = \alpha v T \log_{2} \frac{P_2}{P_1} \).
3. Подставим известные значения и найдём \( \log_{2} \frac{P_2}{P_1} \): \( 39900 = 9.5 \cdot 6 \cdot 350 \cdot \log_{2} \frac{P_2}{P_1} \).
4. \( 39900 = 19950 \cdot \log_{2} \frac{P_2}{P_1} \).
5. \( \log_{2} \frac{P_2}{P_1} = \frac{39900}{19950} = 2 \).
6. Теперь найдём отношение давлений: \( \frac{P_2}{P_1} = 2^2 = 4 \).
7. Вычислим \( P_2 \): \( P_2 = 4 \cdot P_1 = 4 \cdot 1.3 = 5.2 \) атм.

Ответ: 5.2 атм.