89. Выполните сложение или вычитание дробей: а) \(\frac{x+4}{x^2-2x}-\frac{x}{x^2-4}\); б) \(\frac{3}{2y+1}+\frac{y+7}{1-4y^2}\); в) \(\frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}-\frac{1}{a+b}\); г) \(\frac{1}{a-b}-\frac{3ab}{a^3-b^3}\).

а)

Разложим знаменатели на множители:

\(x^2-2x=x(x-2),\quad x^2-4=(x-2)(x+2)\).

Общий знаменатель: \(x(x-2)(x+2)\).

\[\frac{x+4}{x(x-2)}-\frac{x}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x+4)(x+2)-x^2(x-2)}{x(x-2)(x+2)}.\]

Раскроем скобки:

\[\frac{x^2+6x+8-x^3+2x^2}{x(x-2)(x+2)}=\frac{-x^3+3x^2+6x+8}{x(x-2)(x+2)}.\]

б)

Разложим второй знаменатель:

\(1-4y^2=(1-2y)(1+2y)\).

Тогда

\[\frac{3}{2y+1}+\frac{y+7}{(1-2y)(1+2y)}=\frac{3(1-2y)+y+7}{(2y+1)(1-2y)}.\]

\[\frac{3-6y+y+7}{(2y+1)(1-2y)}=\frac{10-5y}{(2y+1)(1-2y)}=\frac{5(2-y)}{(2y+1)(1-2y)}.\]

в)

Используем формулу суммы кубов:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).

\[\frac{a^2+b^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}-\frac{1}{a+b}=\frac{a^2+b^2-(a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}.\]

\[\frac{ab}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}.\]

г)

Используем формулу разности кубов:

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

\[\frac{1}{a-b}-\frac{3ab}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}=\frac{a^2+ab+b^2-3ab}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}.\]

\[\frac{a^2-2ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}.\]

Сокращаем на \(a-b\):

\[\frac{a-b}{a^2+ab+b^2}.\]

Ответ: а) \(\frac{-x^3+3x^2+6x+8}{x(x-2)(x+2)}\); б) \(\frac{5(2-y)}{(2y+1)(1-2y)}\); в) \(\frac{ab}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}\); г) \(\frac{a-b}{a^2+ab+b^2}\).