881 Представьте в виде произведения: a) sin 12°+sin 20°; б) sin 52°-sin 32°; в) cos 10°-cos 20°; г) sin 6 - sin 9; д) sin α-sin(α+π/3); e) cos(π/4+α)−cos(π/4−α).

Справочник формул:

• Сумма синусов: $$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$$
• Разность синусов: $$\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$$
• Разность косинусов: $$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$$

Решение:

а) $$\sin 12^{\circ} + \sin 20^{\circ}$$

1. Применяем формулу суммы синусов: $$2 \sin \frac{12^{\circ}+20^{\circ}}{2} \cos \frac{12^{\circ}-20^{\circ}}{2}$$
2. Упрощаем: $$2 \sin \frac{32^{\circ}}{2} \cos \frac{-8^{\circ}}{2}$$
3. Получаем: $$2 \sin 16^{\circ} \cos (-4^{\circ})$$
4. Учитывая, что $$\cos(-x) = \cos x$$: $$2 \sin 16^{\circ} \cos 4^{\circ}$$

Ответ: $$2 \sin 16^{\circ} \cos 4^{\circ}$$

б) $$\sin 52^{\circ} - \sin 32^{\circ}$$

1. Применяем формулу разности синусов: $$2 \cos \frac{52^{\circ}+32^{\circ}}{2} \sin \frac{52^{\circ}-32^{\circ}}{2}$$
2. Упрощаем: $$2 \cos \frac{84^{\circ}}{2} \sin \frac{20^{\circ}}{2}$$
3. Получаем: $$2 \cos 42^{\circ} \sin 10^{\circ}$$

Ответ: $$2 \cos 42^{\circ} \sin 10^{\circ}$$

в) $$\cos \frac{\pi}{10} - \cos \frac{\pi}{20}$$

1. Применяем формулу разности косинусов: $$-2 \sin \frac{\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{20}}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{10}-\frac{\pi}{20}}{2}$$
2. Приводим к общему знаменателю: $$-2 \sin \frac{\frac{2\pi+\pi}{20}}{2} \sin \frac{\frac{2\pi-\pi}{20}}{2}$$
3. Упрощаем: $$-2 \sin \frac{\frac{3\pi}{20}}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{20}}{2}$$
4. Получаем: $$-2 \sin \frac{3\pi}{40} \sin \frac{\pi}{40}$$

Ответ: $$-2 \sin \frac{3\pi}{40} \sin \frac{\pi}{40}$$

г) $$\sin \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{9}$$

1. Применяем формулу разности синусов: $$2 \cos \frac{\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{9}}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{9}}{2}$$
2. Приводим к общему знаменателю: $$2 \cos \frac{\frac{3\pi+2\pi}{18}}{2} \sin \frac{\frac{3\pi-2\pi}{18}}{2}$$
3. Упрощаем: $$2 \cos \frac{\frac{5\pi}{18}}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{18}}{2}$$
4. Получаем: $$2 \cos \frac{5\pi}{36} \sin \frac{\pi}{36}$$

Ответ: $$2 \cos \frac{5\pi}{36} \sin \frac{\pi}{36}$$

д) $$\sin \alpha - \sin (\alpha + \frac{\pi}{3})$$

1. Применяем формулу разности синусов: $$2 \cos \frac{\alpha + (\alpha + \frac{\pi}{3})}{2} \sin \frac{\alpha - (\alpha + \frac{\pi}{3})}{2}$$
2. Упрощаем: $$2 \cos \frac{2\alpha + \frac{\pi}{3}}{2} \sin \frac{-\frac{\pi}{3}}{2}$$
3. Получаем: $$2 \cos (\alpha + \frac{\pi}{6}) \sin (-\frac{\pi}{6})$$
4. Учитывая, что $$\sin(-x) = -\sin x$$: $$2 \cos (\alpha + \frac{\pi}{6}) (-\sin \frac{\pi}{6})$$
5. Так как $$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$: $$-2 \cos (\alpha + \frac{\pi}{6}) \times \frac{1}{2}$$
6. Итого: $$-\cos (\alpha + \frac{\pi}{6})$$

Ответ: $$-\cos (\alpha + \frac{\pi}{6})$$

е) $$\cos (\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos (\frac{\pi}{4} - \alpha)$$

1. Применяем формулу разности косинусов: $$-2 \sin \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} \sin \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2}$$
2. Упрощаем: $$-2 \sin \frac{\frac{\pi}{4} + \alpha + \frac{\pi}{4} - \alpha}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{4} + \alpha - \frac{\pi}{4} + \alpha}{2}$$
3. Получаем: $$-2 \sin \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} \sin \frac{2\alpha}{2}$$
4. Упрощаем: $$-2 \sin \frac{\frac{\pi}{2}}{2} \sin \alpha$$
5. Итого: $$-2 \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha$$
6. Так как $$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$: $$-2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha$$
7. Итого: $$-\sqrt{2} \sin \alpha$$

Ответ: $$-\sqrt{2} \sin \alpha$$