87. Simplify the expression: \(\frac{18^5}{2^5 \cdot 3^9}\)

Решение:

Для упрощения выражения \(\frac{18^5}{2^5 \cdot 3^9}\) воспользуемся свойствами степеней.

1. Разложим основание степени в числителе на простые множители: \( 18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2 \).
2. Подставим разложение в числитель: \( 18^5 = (2 \cdot 3^2)^5 = 2^5 \cdot (3^2)^5 \).
3. Применим свойство возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
4. \( (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10} \).
5. Теперь числитель равен: \( 2^5 \cdot 3^{10} \).
6. Исходное выражение выглядит так: \(\frac{2^5 \cdot 3^{10}}{2^5 \cdot 3^9}\).
7. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: \(\frac{\cancel{2^5} \cdot 3^{10}}{\cancel{2^5} \cdot 3^9} = \frac{3^{10}}{3^9}\).
8. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
9. \(\frac{3^{10}}{3^9} = 3^{10-9} = 3^1 = 3\).

Ответ: 3