Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 840. Решите уравнения: 1) \(\log_2(x-5)+\log_2(x+2)=3\); 2) \(\log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2\); 3)…Фото задания

Ответ:

  1. ОДЗ: \(x-5>0\), значит \(x>5\).

    Объединим логарифмы: \(\log_2((x-5)(x+2))=3\), поэтому \((x-5)(x+2)=2^3=8\).

    Раскроем скобки: \(x^2-3x-10=8\), откуда \(x^2-3x-18=0\). Корни: \(x=6\) и \(x=-3\). С учётом ОДЗ подходит только \(x=6\).

    Ответ: \(x=6\).

  2. ОДЗ: \(x-2>0\), значит \(x>2\).

    Объединим логарифмы: \(\log_3((x-2)(x+6))=2\), поэтому \((x-2)(x+6)=3^2=9\).

    Раскроем скобки: \(x^2+4x-12=9\), откуда \(x^2+4x-21=0\). Корни: \(x=3\) и \(x=-7\). С учётом ОДЗ подходит только \(x=3\).

    Ответ: \(x=3\).

  3. ОДЗ: \(x+\sqrt3>0\) и \(x-\sqrt3>0\), значит \(x>\sqrt3\).

    Объединим логарифмы: \(\lg((x+\sqrt3)(x-\sqrt3))=0\), поэтому \((x+\sqrt3)(x-\sqrt3)=10^0=1\).

    По формуле разности квадратов: \(x^2-3=1\), откуда \(x^2=4\). Получаем \(x=2\) или \(x=-2\); ОДЗ удовлетворяет только \(x=2\).

    Ответ: \(x=2\).

  4. ОДЗ: \(x-1>0\), значит \(x>1\).

    Объединим логарифмы: \(\lg((x-1)(x+1))=0\), поэтому \((x-1)(x+1)=10^0=1\).

    По формуле разности квадратов: \(x^2-1=1\), откуда \(x^2=2\). Получаем \(x=\sqrt2\) или \(x=-\sqrt2\); ОДЗ удовлетворяет только \(x=\sqrt2\).

    Ответ: \(x=\sqrt2\).