80. Отрезок AB длины a разделён точками P и Q на три отрезка AP, PQ и QB так, что AP = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой A и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков AP и QB.

Пусть PQ = QB = x. Тогда AP = 2x, а длина всего отрезка:

\(AB = AP + PQ + QB = 2x + x + x = 4x\).

Следовательно, \(x = \frac{a}{4}\), поэтому:

• \(AP = \frac{a}{2}\);
• \(PQ = QB = \frac{a}{4}\).

а) Середина отрезка \(QB\) находится на расстоянии \(\frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} = \frac{7a}{8}\) от точки \(A\).

б) Середина отрезка \(AP\) находится на расстоянии \(\frac{a}{4}\) от точки \(A\), а середина отрезка \(QB\) — на расстоянии \(\frac{7a}{8}\). Поэтому расстояние между ними:

\[\frac{7a}{8} - \frac{a}{4} = \frac{7a}{8} - \frac{2a}{8} = \frac{5a}{8}.\]

Ответ: а) \(\frac{7a}{8}\); б) \(\frac{5a}{8}\).