8) Задание 3. В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 17 мест, а в девятом ряду 25 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию. Обозначим количество мест в \( n \)-ом ряду как \( a_n \). Разность прогрессии (количество мест, добавляемое в каждом следующем ряду) обозначим как \( d \).

Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

По условию:

• В 5-м ряду 17 мест: \( a_5 = 17 \)
• В 9-м ряду 25 мест: \( a_9 = 25 \)
• Всего 16 рядов.

Запишем уравнения, используя формулу \( n \)-го члена:

• \( a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d = 17 \)
• \( a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d = 25 \)

Теперь решим систему из двух уравнений:

\( \begin{cases} a_1 + 4d = 17 \ a_1 + 8d = 25 \\\end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (a_1 + 8d) - (a_1 + 4d) = 25 - 17 \)

\( 4d = 8 \)

\( d = \frac{8}{4} = 2 \)

Теперь найдём \( a_1 \), подставив \( d=2 \) в первое уравнение:

\( a_1 + 4(2) = 17 \)

\( a_1 + 8 = 17 \)

\( a_1 = 17 - 8 = 9 \)

Итак, в первом ряду 9 мест, и каждый следующий ряд имеет на 2 места больше.

Нам нужно найти количество мест в последнем (16-м) ряду, то есть \( a_{16} \).

\( a_{16} = a_1 + (16-1)d \)

\( a_{16} = 9 + (15)(2) \)

\( a_{16} = 9 + 30 \)

\( a_{16} = 39 \)

Ответ: 39