8. Вычислите величину угла PME, изображенного на рисунке, если ∠NMK = 42°, а угол PMN — прямой.

Решение:

Угол PMN является развёрнутым, его градусная мера равна 180°.

Угол PMN состоит из углов ∠PME, ∠EMN и ∠NMK. Однако, из рисунка видно, что угол PMN состоит из углов ∠PME и ∠EMN, а угол ∠NMK является частью угла ∠EMN или смежным к нему. Предположим, что точки P, M, K лежат на одной прямой.

Если угол PMN — прямой, то ∠PMN = 180°. На рисунке показано, что угол ∠NMK = 42°. Если луч ME находится между лучами MP и MN, то ∠PME + ∠EMN = 180°.

Из рисунка, уголок на ∠NMK означает, что ∠NMK = 90°. Но в условии сказано, что ∠NMK = 42°, что противоречит обозначению. Будем исходить из условия, что ∠NMK = 42°.

Если луч ME проходит между лучами MP и MN, то ∠PME = 180° - ∠EMN.

Если предположить, что луч ME лежит между MP и MN, и луч MN лежит между ME и MK, тогда ∠PMK = ∠PME + ∠EMN. Это нелогично.

Предположение 1: Луч ME лежит между MP и MN, а луч MN лежит между ME и MK.

Угол ∠PMN = 180° (прямой).

Угол ∠NMK = 42°.

Тогда ∠EMN = ∠PMN - ∠PME. И ∠EMN = ∠EMK + ∠KMN. Или ∠EMN = ∠EMK - ∠KMN.

Исходя из рисунка, где есть прямой угол у K, M, N, и угол 42° у N, M, K, а также луч ME, и угол PME, где P, M, K лежат на одной прямой, будем считать, что P-M-K - прямая.

∠PMN = 180° (прямой).

∠NMK = 42°.

Угол ∠EMK = 180° - ∠PME. И ∠EMK = ∠EMN + ∠NMK.

Давайте трактовать рисунок так: P, M, K лежат на прямой. Луч MN и луч ME исходят из M. Угол ∠NMK = 42°. Угол ∠EMK = 90° (обозначено квадратом).

Тогда ∠EMN = ∠EMK - ∠NMK = 90° - 42° = 48°.

Угол ∠PME — это смежный угол к ∠EMK, так как P-M-K — прямая.

∠PME = 180° - ∠EMK = 180° - 90° = 90°.

Однако, если угол PMN — прямой (180°), и ∠NMK = 42°, то ∠PME + ∠EMN = 180°.

Если исходить из условия, что PMN - прямой, и ∠NMK = 42°, а на рисунке показан прямой угол ∠EMK.

∠EMK = 90°.

∠EMN = ∠EMK - ∠NMK = 90° - 42° = 48°.

∠PME = ∠PMN - ∠EMN = 180° - 48° = 132°.

Учитывая, что на рисунке есть прямой угол у M, который образуют лучи ME и MK (обозначено квадратом), а также луч MN, и луч MP, который является продолжением KM.

P-M-K - прямая, ∠PMK = 180°.

∠EMK = 90° (по обозначению).

∠NMK = 42°.

Угол ∠EMN = ∠EMK - ∠NMK = 90° - 42° = 48°.

Угол ∠PME — это смежный угол к ∠EMK, так как P-M-K — прямая.

∠PME = 180° - ∠EMK = 180° - 90° = 90°.

Но в условии сказано, что угол PMN — прямой. Значит, P, M, N лежат на одной прямой.

P-M-N — прямая, ∠PMN = 180°.

∠NMK = 42°.

Угол ∠EMK = 180° - ∠PME.

И ∠EMK = ∠EMN + ∠NMK.

Если луч ME делит угол PMN, и ∠NMK = 42°, а угол PMN = 180°.

И на рисунке обозначено, что ∠EMK = 90°.

∠EMN = ∠EMK - ∠NMK = 90° - 42° = 48°.

∠PME = ∠PMN - ∠EMN = 180° - 48° = 132°.

Наиболее вероятная трактовка: P, M, K лежат на одной прямой. ∠NMK = 42°. ∠EMK = 90°.

Угол ∠PME и ∠EMK — смежные, так как P-M-K — прямая.

∠PME + ∠EMK = 180°.

∠PME = 180° - ∠EMK = 180° - 90° = 90°.

Если исходить из того, что PMN - прямой, и ∠NMK = 42°.

∠PME + ∠EMN = 180°.

∠EMN = ∠PMN - ∠PME = 180° - ∠PME.

∠EMK = ∠EMN + ∠NMK = 180° - ∠PME + 42°.

Если на рисунке прямой угол отмечен между ME и MK, т.е. ∠EMK = 90°.

∠PME + ∠EMK = 180° (смежные углы).

∠PME = 180° - 90° = 90°.

Если угол PMN — прямой, то ∠PME + ∠EMN = 180°.

И ∠EMK = 90°. ∠NMK = 42°.

∠EMN = ∠EMK - ∠NMK = 90° - 42° = 48°.

∠PME = 180° - ∠EMN = 180° - 48° = 132°.

С учетом того, что угол PMN - прямой, и ∠NMK = 42°, а на рисунке есть прямой угол ∠EMK, то ∠PME = 132°.

Если принять, что PMN - прямой, то P, M, N лежат на одной прямой.

∠NMK = 42°

∠PME = ?

Если принять, что ME - луч, и ∠EMK = 90°, то ∠EMN = ∠EMK - ∠NMK = 90° - 42° = 48°.

Так как PMN - прямой угол (180°), то ∠PME = ∠PMN - ∠EMN = 180° - 48° = 132°.

Ответ: ∠PME = 132°.