8. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком y = (x+2)^2 и прямыми x=0, y=0.

Решение:

Задача сводится к вычислению определенного интеграла функции \( y = (x+2)^2 \) на отрезке от \( x=0 \) до точки пересечения графика с осью \( Ox \) (где \( y=0 \)).

Найдем точку пересечения графика \( y = (x+2)^2 \) с осью \( Ox \) (то есть \( y=0 \)):

\[ (x+2)^2 = 0 \]

\[ x+2 = 0 \]

\[ x = -2 \]

Однако, условие задачи гласит, что трапеция ограничена прямой \( x=0 \). Исходя из графика, который нарисован, и подписей точек (A, B), а также значений на оси X (-2, 0), следует, что область интегрирования находится между \( x=-2 \) и \( x=0 \).

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( f(x) = (x+2)^2 \), \( a = -2 \) и \( b = 0 \).

Вычислим интеграл:

\[ S = \int_{-2}^{0} (x+2)^2 dx \]

Для вычисления интеграла, раскроем скобки:

\[ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \]

\[ S = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 4) dx \]

Теперь проинтегрируем по каждому члену:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{0} \]

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{0} \]

Подставим верхний предел интегрирования (0):

\[ \frac{0^3}{3} + 2(0)^2 + 4(0) = 0 \]

Подставим нижний предел интегрирования (-2):

\[ \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2) = \frac{-8}{3} + 2(4) - 8 = \frac{-8}{3} + 8 - 8 = \frac{-8}{3} \]

Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

\[ S = 0 - \left( \frac{-8}{3} \right) = \frac{8}{3} \]

Ответ: Площадь криволинейной трапеции равна \( \frac{8}{3} \).