8. Укажите неравенство, которое не имеет решений.

Решение:

Чтобы определить, какое неравенство не имеет решений, проанализируем каждое из них. Для квадратных неравенств вида ax² + bx + c > 0 или ax² + bx + c < 0, важно рассмотреть дискриминант квадратного трехчлена (D = b² - 4ac) и направление ветвей параболы (знак коэффициента 'a').

• 1) x² - 5x + 53 < 0
• a = 1, b = -5, c = 53.
• Дискриминант: D = (-5)² - 4 * 1 * 53 = 25 - 212 = -187.
• Так как дискриминант отрицательный (D < 0) и коэффициент 'a' положительный (a > 0), парабола y = x² - 5x + 53 всегда находится выше оси x (то есть, y > 0 для всех x). Следовательно, неравенство x² - 5x + 53 < 0 не имеет решений.
• 2) x² - 5x - 53 < 0
• a = 1, b = -5, c = -53.
• Дискриминант: D = (-5)² - 4 * 1 * (-53) = 25 + 212 = 237.
• Так как дискриминант положительный (D > 0), у параболы есть два действительных корня. Это означает, что существуют значения x, при которых неравенство выполняется (т.е. парабола находится ниже оси x).
• 3) x² - 5x + 53 > 0
• a = 1, b = -5, c = 53.
• Дискриминант: D = -187 (отрицательный).
• Так как коэффициент 'a' положительный (a > 0) и дискриминант отрицательный (D < 0), парабола всегда выше оси x. Следовательно, неравенство x² - 5x + 53 > 0 имеет решения для всех действительных x.
• 4) x² - 5x - 53 > 0
• a = 1, b = -5, c = -53.
• Дискриминант: D = 237 (положительный).
• Так как дискриминант положительный (D > 0), у параболы есть два действительных корня. Это означает, что существуют значения x, при которых неравенство выполняется (т.е. парабола находится выше оси x).

Ответ: 1) x² - 5x + 53 < 0