8. Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 50°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Так как СМ — биссектриса внешнего угла BCD, то \( \angle BCD = 2 \cdot \angle MCD \).
2. \( \angle MCD = 50^{\circ} \), значит, \( \angle BCD = 2 \cdot 50^{\circ} = 100^{\circ} \).
3. \( \angle ACB \) и \( \angle BCD \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^{\circ} \).
4. \( \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
5. В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, следовательно, он равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle ABC \).
6. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).
7. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).
8. \( 2 \cdot \angle BAC + 80^{\circ} = 180^{\circ} \).
9. \( 2 \cdot \angle BAC = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
10. \( \angle BAC = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ} \).

Ответ: 50