8. Решите неравенство x^2 - 5x - 6 >= 0.

Решение:

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 5x - 6 \ge 0 \), сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 5x - 6 = 0 \).

1. Определим коэффициенты квадратного уравнения: \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -6 \).
2. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]
3. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
4. Найдём корни по формуле: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
5. Полученные корни: \( x = -1 \) и \( x = 6 \).
6. Так как парабола \( y = x^2 - 5x - 6 \) направлена ветвями вверх (коэффициент \( a = 1 > 0 \)), то неравенство \( x^2 - 5x - 6 \ge 0 \) выполняется при \( x \le -1 \) или \( x \ge 6 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [6; +\infty) \).